高中数学中的分类讨论思想

龚波

（江西省南昌市十三中）

高中数学中的分类讨论思想

龚波

（江西省南昌市十三中）

数学思想的培养贯穿于整个高中数学教学中，在此过程中，教师不仅需要教会学生数学知识，掌握数学方法，培养数学能力，更应该引导学生感悟数学思想。分类讨论既是一种重要的数学思想，又是解决问题的逻辑方法。这种方法对于简化研究对象、发展人的思维有着重要帮助。在教学活动中“分类讨论思想”是数学发现的一种重要手段，它能揭示研究对象之间的内在联系，学生可以用它解决问题，使数学知识结构更有条理。此外，运用分类讨论来解决的题目在高考试题中也必然存在。重点论述高中数学中分类讨论的原理、类型以及讨论的步骤，讲述分类讨论的具体应用。

高中数学；分类讨论；数学思想

一、分类讨论思想的概念

所谓分类讨论，就是在解决一个问题时，若所研究对象或者答案不能统一表述，我们就按照某一确定标准，将对象严格按标准分为几个小类，然后逐一研究每一类情况，最后综合各类结果，得到完整答案。这样的思想方法，我们就称之为“分类讨论思想”。

分类讨论是数学发现的一种重要手段，是解决问题的一种重要思想方法。它体现了化整为零、积零为整的思想与方法。

二、分类讨论的原则

想要完整准确地解决数学问题，必须遵循分类讨论的原则。

复杂问题存在不确定因素，或者答案不能统一表述，此时可以将其划分为几个简单子问题。首先，必须明确分类的标准，即分类的标准要统一，不能出现按不同标准来分类，这是正确分类的前提。其次，做到不重复、不遗漏，一个元素不能既在这一类，又在另一类；同时，在将每一类解答综合时应与原题等价。最后，注意多层分类时，不能越层次讨论。

三、分类讨论思想解题的一般步骤

1.确定什么要分类讨论以及分类的准则

2.对需要讨论的问题进行准确的分类

3.逐类讨论：即对各类问题分别解答

4.归纳总结各类答案，整合得出最后结论。

四、具体应用与实例

1.因数学定义和规则必须分类讨论的

如，开偶次方、不等式两边同乘、去绝对值等。

2.由定理、性质、公式的限制引起的分类讨论

对数函数的单调性因底数a的取值范围不同而不同，故需对a进行分类讨论。

3.由几何图形中由于相对位置不确定引起的分类讨论

4.某些含有参数的问题，由于参数的取值不同对结果有影响，所以要分类讨论

例如，有关一元二次函数最值、值域等问题，如果含有参数，需要对开口方向、对称轴的位置进行分类讨论，最后综合各种情况得到答案。

5.其他情形，具体问题要根据实际情况具体分析

对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并没有绝对规定，我们要在解题时不断地总结经验。另外，数学中的一些结论一般情形是正确的，但要考虑特殊情况。解题时，应注意就这些特殊情形进行讨论。常见的有以下几例：

（1）“一元二次方程有实数解”转化为Δ≥0时，忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为Δ≥0；

（2）等比数列前n项和公式中：q=1时，公式不成立，而是Sn= na1。

（3）直线方程时，设直线的斜率为k，但当直线与x轴垂直时无斜率，应另行讨论。

五、教学启示

数学的学习过程就是一个提出问题、分析问题，进而解决问题的过程。分类讨论思想正体现了这么一个数学学习过程。遇到一个实际的复杂问题，盲目地去做，这样往往不能对问题进行很好的解决。根据自己掌握的知识，对原来的复杂问题进行分解，得到几个简单的子问题。为了做到问题分解不重不漏，在分类讲解时要具有条理性。对分解得到的每一个子问题逐一进行分析解答，并对所有子问题的解进行归纳总结，得到原问题的完整解答。

分类与讨论是解决高中数学复杂问题的一个重要策略。它贯穿于整个数学理论体系，在中学数学教学中起着非常重要的作用。这一思想有助于培养学生的思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

数学思维的教学和数学的一般知识不一样，很难在短时间内掌握。教师在教学过程中不要急于求成，应该在平时的教学中有意识地将分类讨论的思想渗透其中，让学生一步一步地学习分类方法，加强思考，提高解决复杂问题的能力。最后，必须指出的是，不要盲目或机械地进行分类讨论，要与化归思想、类比思想、数形结合思想等综合，力求迅速准确地解决问题。

孙姣.多元化自学辅导法”在中学数学教学中的实践探索［J］.中国创新科技导刊，2011（32）.

·编辑王团兰