如何克服“面对阅读疑无路”的困惑
2016-02-27江苏省海门实验学校陈天正
☉江苏省海门实验学校 陈天正
如何克服“面对阅读疑无路”的困惑
☉江苏省海门实验学校 陈天正
放眼未来,“终身教育,终身学习”、“‘教会学生知识’转向‘教会学生学习’”等教育思想的实施,离不开阅读,离不开数学阅读,阅读理解能力是高考的一个重要考查点,在实施素质教育的今天具有重要的意义.但阅读理解题目往往冗长、区分度比较高,也因为不少考生没有掌握科学的阅读方法和技巧,而出现“面对阅读疑无路”的困惑.如何克服这些困惑呢?教你几招!
症状1:漏看(完)题,匆忙动笔,不知所云
数学语言多姿多彩而又严谨规范,“增一字则太长,减一字则太短”,为了片面追求解题速度,没有统览阅读全题,做到心中有数,匆忙做题,漏看(完)题甚至看错题而造成阅读题做得虎头蛇尾,可谓得不偿失.
例1求曲线S:y=3x-x3过点P(2,-2)的切线方程.
病解:f′(x)=3-3x2,所以f′(2)=-9,所以以点P(2,-2)为切点的切线的斜率k=-9,所以所求切线方程为y+2= -9(x-2),即9x+y-16=0.
诊断:错解的主要原因是把“过点P(2,-2)的切线”当成“在点P(2,-2)处的切线”,即把“过”当成了“在”,结果则大相径庭.
若求在点P(2,-2)处的切线方程,P为切点,所求切线方程为9x+y-16=0,病解正确.
但本题是求过点P(2,-2)的切线方程,P不一定为切点.当P为切点时,所求切线方程为9x+y-16=0;当P不为切点时,所求切线方程为y+2=0.
所以本题所求切线方程为9x+y-16=0或y+2=0.
妙招:统览阅读全题,了解难易程度,关键之处需精读;一般讲,阅读材料越繁难,问题越简单,阅读材料越容易,问题则往往暗藏机关,越难.
症状2:一叶障目,主观臆断
受思维定势的影响或考虑不周,没有把握问题的关键,被细节所迷惑,理解不全面,以局部代替整体,犯以偏概全的错误.
例2(2007年辽宁高考文22)已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α,g(x)=f′(x),且对任意的实数t均有g(1+cost)≥0,g(3+sint)≤0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的m∈[-26,6],恒有f(x)≥x2-mx-11,求x的取值范围.
病解:(Ⅰ)一般没有问题,易得f(x)=x3-9x2+24x,但(Ⅱ)不少考生却出现病解:由(Ⅰ)得f(x)=x3-9x2+24x,故对任意的m∈[-26,6],恒有mx-9x2+24x+11≥0,令h(x)=-9x2+mx+24x+11,视x为自变量,问题变成二次函数h(x)对任意的m∈[-26,6],恒有图像在x轴上方的问题,解题过程非常复杂、扑朔迷离,难以解决.
诊断:错解的主要原因是受思维定势的影响,对问题阅读不透彻,理解模糊,没有及时调整思维,变更主元.实际上,问题告诉的是变量m的范围,而不是变量x的范围,对这些新变化视而不见,一味地按照自己已有的思维定势往前走,必然与正确解法“失之交臂”.(Ⅱ)的正确解法是:令h(m)=xm+(-9x2+24x+11),则问题变成一次函数h(m)的图像在m∈[-26,6]上不低于x轴的问题,故有≤x≤1.
妙招:当思维定势的趋向与所要解决问题的途径相同时,它有积极的一面,对我们解题有利;但当思维定势与所要解决问题的途径相悖或不尽相同时,它有消极的一面,对我们解题不利,此时应及时调整思维策略,克服思维定势的消极影响,大胆创新,发散思维,灵活处理.
症状3:偷梁换柱,以假乱真
偷梁换柱的干扰往往利用考生时间紧,只是粗略一读,来不及细看,或来不及把问题读到底的倾向设置陷阱,以假乱真.
例3设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标是().
A.(a,0)B.(0,a)
病解:不少考生错误地认为y=4ax2是抛物线的标准方程,进而选B;或认为要加以讨论,从而选D.
诊断:病解的主要原因是被假象所迷惑.命题人考虑到某些考生对抛物线的标准方程概念模糊而设置了偷梁换柱、以假乱真的陷阱,而这些病解是由于考生把y2=4ax与y=4ax2混淆,恰好踏进命题人的陷阱不能自拔.正确解法应为:先将y=4ax2化为x2=y,可得焦点F(0,),故选C.
妙招:正确理解掌握抛物线的标准方程及相应字母的含义,透过现象看本质,不为假象所迷惑.
症状4:走马观花,误入歧途
考试期间,由于时间紧迫,考生思路不清,走马观花,只看表面现象,不探究问题的本质,忽略细节而致错在所难免,这也充分暴露出考生的不良学习品质,值得关注.
例4已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2,n∈N),求数列{an}的通项公式.
病解:由an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,知an-1=a1+2a2+,所以= n,所以=2×3×4×…×n,所以an=n!.
诊断:病解的原因是只看表面现象,没有深入思考、研究问题的本质,走马观花,对自然数n的变化心中无数,不入歧途岂不怪哉!题中n≥2(n∈N)时,才有an=a1+ 2a2+3a3+…+(n-1)an-1,那么an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2存在的条件应该是n≥3(n∈N),而病解恰好没有抓住这一关键细节.正确解法为:当n≥2(n∈N)时,an=a1+2a2+ 3a3+…+(n-1)an-1,当n≥3(n∈N)时,an-1=a1+2a2+3a3+…+,所以=n(n≥3,n∈N),所以=3×4×…×n,由a=1,1an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2,n∈N),易知a2=a1=1,故当n≥3(n∈N)时
妙招:数学学习中,切不可走马观花,要透过现象看本质,重视学习中的每一个细节,在每一个细节上做足功夫,建立“细节优势”,久而久之,“胆大而心细、眼观六路耳听八方”的良好学习品质自然就会形成,数学自然也就学好了.
症状5:不能以静制动,难见庐山真面目
从静到动和从动到静,蕴含着从特殊到一般和从一般到特殊的辨证数学思想,揭示出数学中也存在着相互转化的规律.因此,解决数学问题,既要找出静的因素,如定点、定角、定直线、定曲线、定长、平行、垂直等;又要找出动的因素,如点的运动、图形的运动等.动静因素往往相互联系,又相互制约.
例5如果把二次函数的开口、对称轴及自变量的变化范围看成其变化的三个基本量,那么这三个基本量是确定的,则称其为“静止”状态,否则为“运动”状态.
(3)根据(1)与(2)的分析,就抛物线的开口及对称轴的变化,提出一个更一般性问题(不用解答).
病解:第(1)问相对比较简单,第(2)问不少同学已经进入困境,第(3)问不少同学提出了若干意义不大的问题.
诊断:从动静的联系入手,以静制动.
对于第(1)问,因为抛物线的对称轴、开口方向、自变量的范围都是确定的,呈现出一种特殊的静止状态,即函数(fx)=x2+x-1(x∈[,2])的图像是开口向上,且在抛物线对称轴x=-1右侧单调递增的一段抛物线弧,易知f(x)的最大值是f(2)=3.
对于第(2)问,抛物线的对称轴、开口方向不定,是一种运动状态,可对a分类讨论:当a≥-时,(fx)的最大值是a+2;当时,f(x)的最大值是-a-;当a=0时,(fx)的最大值是2;当a≤-时,(fx)的最大值是.
对于第(3)问,因为抛物线的对称轴、开口方向、自变量的范围都是不确定的,受字母a的驱动,呈现出全面运动状态,可提出问题:讨论随着a的变化,探求f(x)=ax2+x-a(a∈R,x∈[a,2])的最大值.此时可类比第(1)、(2)问的解法,把区间看成“静止”的,函数是“运动”的;也可把函数看成“静止”的,区间看成“运动”的.
妙招:数学解题过程中,要进行比较,找出相对“静止”和“运动”的情形,从特殊“静止”情形切入,逐渐过渡到一般“运动”情形,进而达到揭示问题本质的目的.F