浅谈如何提高学生的解题能力

2016-02-23李波

教师·上 2016年1期

李波

摘要：提高学生的解题能力是每位一线教师的目标，在当前的高中数学教学中，不少教师采取“题海战术”，通过大量练习让学生多见题，多掌握一些解题技巧，来提高学生的解题能力，忽视了数学理性思维的深化与拓展，加重了学生的负担，与新课程理念背道而驰，本文从巩固知识基础、提升运算能力、培养数学思想、指导解题策略四个方面来谈如何提高学生的解题能力。

关键词：解题能力;运算能力;知识;数学思想;解题策略

美国数学家哈尔莫斯（P.P.Halmos）说：“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。”美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚称：“掌握数学就意味着善于解题。”可见，在数学家、数学教育家眼里，解题教学具有举足轻重的地位。每年当我们把学生送进高考考场后，我们每位一线教师，最担心的是今年的高考创新题多不多，思维强度大不大，学生解题顺不顺，其中“学生解题顺不顺”关系到学生分数的高低，也反映了我们自身的教学效果，面对这一担忧，我一直都在思考，高中三年不同的时期，如何采用不同的教学方式分阶段地提高学生的解题能力，使学生对各种问题能迎刃而解呢？

提高学生的解题能力是每位一线教师的目标，在当前的高中数学教学中，不少教师采取“题海战术”，通过大量练习让学生多见题，多掌握一些解题技巧，来提高学生的解题能力，忽视了数学理性思维的深化和拓展，这样既加重了学生的学业负担，影响了学生的身心健康，而且事倍功半。学习数学的过程与做题确实有紧密的关系，而数学能力的提高在于解题的方法、策略而非解题的数量，因而要善于帮助学生在解题过程中不断总结经验、积累解题的思维方法，培养学生分析和解决问题的能力。那么，如何提高学生的解题能力，下面结合我的教学实践，浅显的谈几点看法：

一、打牢知识基础

平时课后与学生谈心，了解到学生普遍课堂上能听懂，课后却不会解题，这给我们一个重要的警示：学生听懂数学知识不等于会运用数学知识，学生掌握的数学知识还不牢固。知识是解题的基础，那么数学知识又是如何分类的呢？根据现代认知心理学理论，数学上的知识分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识。陈述性知识是描述事物“是什么”的知识，如数学中的定义、原理等;程序性知识是指“怎样做”的知识，如数学解题思想与方法;策略性知识是关于如何学习和思维的知识，如对审题过程、解题推理过程、运算过程等一系列数学活动进行的自我调控与反思。对于这三种知识，我们在课堂教学中不能忽视任何一种，如果学生对于静态的陈述性知识理解不透彻，对动态的程序性知识练习不到位，对策略性知识不加以总结提升，就会导致数学知识掌握的不全面，基础不扎实，进而出现许多学生“课堂上能听懂，课后却不会解题”的现状。

案例1 已知a，b，c，d都是实数，求证 + ≥

思路分析大多数学生看到这个不等式证明题，马上想到采用综合法、分析法等，而此题利用这些方法证明很复杂，有很多学生做不下去了，便放弃了。其实，从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法：

证明：假设A（a，b），B（c，d），

则|AB|=

|OA|= |OB|=

在△OAB中，由三角形三边之间的关系知：

|OA|+|OB|≥|AB|当且仅当O点在线段AB上时，等号成立。

因此， + ≥

学生通过观察没有发现上面这种方法的原因，是对平面上两点之间的距离公式还不是很熟，即对陈述性知识的理解不透彻，当学生采用分析法、综合法证明说明学生掌握了部分程序性知识，但觉得这种证明方法很繁时，没有对自己的审题与解题过程进行反思和调整，即还不具备策略性知识。这启示我们在教学中要引导学生对陈述性知识进行精细加工，对程序性知识进行适当的变式训练，特别我们教师要对策略性知识的传授进行精心的分析与设计。如果对每一种知识，学生都能熟练掌握，就会为解题能力的提高打下扎实的知识基础。

二、提升运算能力

高考数学考试大纲中认为运算能力是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算。运算能力是数学的基本能力，解数学问题几乎离不开运算，通过强化运算能力，可以加深对数的概念的理解，可以培养数理逻辑能力、科学严谨的做事作风、细致耐心的性格。高考对运算能力要求“准确、熟练、合理”，可每次考试下来，经常听到学生自责“太马虎，太粗心了”，有很多学生因运算的失误丢二三十分之多，这些状况显然都是学生的运算能力差引起的，而运算能力往往容易被学生所忽视，因为他们大都认为只要掌握题目的解题思路与方法就可以了，等到考试的时候再进行运算，由于平时缺乏必要的训练，待到考试时，一算就错，更谈不上有灵活的运算技能了。

案例2 （2012广东理）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程;

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。

分析：本题属于探索性问题，主要考查了椭圆的准确方程的确定，直线与椭圆的位置关系，椭圆的参数方程以及距离公式等，考生感觉容易动笔，但在运算过程中，没有扎实的运算功底，第2问是很容易出错的，它涉及到运算技巧，将点到直线的距离表示出来后，面对一个很复杂的式子，能否想到利用换元法简化式子结构以及利用基本不等式处理最值，都需要学生灵活的运算思维。这就要求老师平时的教学中引导学生，灵活运用法则、公式，合理选择简捷的运算途径，在适度合理的训练中，逐渐提高运算能力。

三、培养数学思想

学习数学，除了要牢固的掌握数学基本概念、定理、公式、法则等以外，还要具有综合运用数学的能力，重视数学思想的培养和运用，突出数学思想，是提高解题能力的一个很重要措施，是数学的精髓。数学思想的考查往往与数学知识考查结合进行，而数学思想又往往隐藏在数学知识的背后，教师在进行数学思想教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的数学思想方法显示出来，达到通过知识教学来掌握数学思想的目的，而不是脱离内容形式地进行传授，如果教师经常结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想，对其进行多次再现、不断深化，就会逐步内化为学生能力的组成部分，实现“知识型”向“能力型”的转化。

案例3 若不等式 ≥x（a>0）的解集为则a的值为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：画出y= y=x的图象，依题意，m=-a，n=a从而 =a？圯a=0或2。故选B。

点评：本题很好地体现了数形结合的优越性，如果单纯地从数的观点来解题的话，得出m=-a与n=a也是有一定的难度的，但从形的角度出发，可以很直观地看出，化繁为简，大大提高做题的速度，节约时间，这也就说明了解题时，一定要重视数学思想的应用。

四、指导解题策略

经常有学生说“数学题目我真的做了不少，但一碰到新题，却又做不出来，心里好苦恼。”这就要求平时我们应向学生传授一些解题策略，让学生即使遇到新题也能够应用已学过的解题策略加以解决。这里所指的解题策略，指的是在解题思维中，从宏观的角度来考虑解题途径的思想和方法。解题策略是一种较高层次的解题方法，它主要涉及的是解题的方向、原则、目标等方面，是对解题途径的全方位的认识，有较强的指导性。许多学者对不同层次的学生的解题策略做过对比研究，研究表明：不同层次的学生在解题能力上的差异，最主要的并不是固有知识（即陈述性知识）的差异，而是解题的思维策略的差异。层次较高的学生大多能自主地生成策略，层次较弱的学生一般都缺乏策略，且很难形成策略。教学中若能教会学生了解与应用解题策略，会帮助学生高效地解决问题，不断提高思维灵活性和创造力。

一直以来的教学，我们更多的是不断重复讲题练题，很少关注解题策略的教学，基本上都是依靠学生自己在解题实践中一步一步慢慢生成的，学生解题策略的获得常常是零散的，拼凑的，或“碰了许多钉子”才有所领悟的。帮助学生概括出解题策略比他们自然生成的策略要快要完整得多，特别在数学习题的教学中，应当将解决数学问题的思维策略提炼出来，具体地，明确地、有意识地教给学生，并适时帮助学生对解题思维过程进行整理归纳，让学生在解题实践中真正掌握解决问题的各种策略。数学解题策略包括：模型策略、化归转化策略、归纳策略、演绎策略、类比策略、差异分析策略、正难则反策略等。下面以归纳策略为例进行简单分析：

案例4. 设a，b，c均为整数，求证：an+bn+cn≥apbdecy+aybpcq+aqbrcp，其中n∈N，p，q，r为非负整数，p+q+r=n。

分析：此题证明思路并不明显，比较难以下手，退一步，先考虑p=2，q=1，r=0，n=3的特殊情况，这时所证不等式为a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

由于 ≥ =a2b同理 ≥b2c， ≥c2a

三式相加可得到a3+b3+c3≥a2b+b2c+

c2a

仿效上面特例，得到如下思路：

≥apbqcy

≥aybpcq

≥aqbrcp

三式相加得an+bn+cn≥apbqcy+aybpcq+

aqbrcp.

由此可见，当看到题目时应认真观察，展开联想，通过尝试，确定运用归纳策略进行解题，一旦解题的方向确定后，只需细心求证，就归纳出结论。