方寸之间 独具一格——方格图在第一学段数学学习中的应用策略

□葛素儿

方寸之间 独具一格
——方格图在第一学段数学学习中的应用策略

□葛素儿

方格图是以若干个小正方形为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的数学学习工具，借助方格图可以使学习的情趣和学科的理趣相得益彰。具体而言，可以从丰富方格图的形式、注重挖掘方格图的内涵以及基于方格图的思维活动进行多元活动的设计等几个方面进行有机应用，从而使方格图的功能发挥出最大化的效应，构建智慧课堂。

方格图 第一学段 应用策略

方格图是以若干个小正方形为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的数学学习工具。小小的方格，具有大大的智慧。它既是一种认知载体，更是思维支架。玩转方格图，将使数学课堂别有洞天。对于以形象思维为主的第一学段学生来说，我们更应该让它贯穿于数学学习之中。综观第一学段的数学教材，方格图出现的次数并不少。以教育部2013年审定的人教版数学教材为例，据不完全统计，方格图小学一至三年级出现50余次，随着年级的递增，逐步增加。在教学中，我们应物尽所用、物尽所能，挖掘其丰富的内涵，让方格图的作用最大化、最优化，让方格图成为沟通儿童特质与学科本质之间的桥梁。

一、丰富形式：积累活动经验

教学是不断螺旋上升的过程，小方块的教学亦应如此，教学中可以对方格图进行形式多样变化，在“万变不离其宗”的活动过程中，积累活动经验。

（一）方格图的“今生”，方格图的灵活应用

方格图内涵丰富，我们可以借助方格进行数一数、画一画、想一想、填一填、说一说等数学活动。基于方格图的活动采取多种形式开展，试举三例如下：

其一，数一数。比如，100以内的认识教学中，可以借助数方格的活动展开，在数方格时，可以一个一个数，也可以几个几个数，或者十个十个数，建立起“一”“十”“百”计数单位的概念，理解100以内数的意义。

其二，想一想。比如，百数表中，我们可以抽取其中的数，让学生借助数的排列规律，想象一下它的左邻右舍、上下层等不同方位的数各是几，发展其空间观念。

其三，画一画。比如，在周长的教学中，让学生在方格图中画一画“周长是12厘米的长方形有哪些”，在画图的过程中感受长、宽与周长的关系。

（二）方格图的“后世”，变式图的有效应用

如果对方格图的外在形式进行改变的话，我们可以得到点子图、线段图、坐标图等不同形式、不同思维含量的变式图。这里重点介绍一下点子图和线段图。

其一，点子图。点子图是由一行行、一列列相互对齐的点组成，每行、每列点与点之间的距离都相等。可以说，因为缺少一组组相互平行与垂直的网格，思维的空间更大了。例如，在四边形的认识中，我们可以借助点子图来认识图形的特征。

其二，线段图。方格图是二维的，而线段图是一维的，对于低年级学生而言，是比较抽象的学习工具。教学中，我们可以将方格图变形为条形图，再“压缩”成线段图。抽象的线段图由熟悉的方格图“变身”而来，学生很乐于接受并理解。

二、挖掘内涵：彰显工具智慧

方格图不仅是一种物化的符号，是学生数数、认识图形等知识的载体，更是一种思维支架，是数学学习必不可少的学习工具。

（一）认知载体，借助方格图感知

生活经验是学生学习数学的源头。从最浅层次看，方格图是一种低水平的“物化”符号。如第一学段中数的认识教学中，就可以凭借方格图这一认知载体进行教学。

案例一:20以内数的认识

1.情境引入：呈现十多本摆放杂乱的练习本，猜一猜有几本？在猜的过程中，数数并板书。

2.物化探究：一本练习本用一个小方格表示。怎么样整理，15本练习本可以一眼就看出有几本？学生拼摆小方块并交流。

3.看图写数：涂色的方格各有几个？想一想每个数各由几个十和几个一组成。

4.梳理提升：结合方格图认识计数单位。那你们知道为什么这样写吗？出示计数器，在拨数的过程中与方格图、数一一对应。

……

这节课中，从学生已有的经验出发，将练习本物化成小方块，在小方块拼摆过程中形成方格图，经历“实物—小方块—方格图—计数（？）单位”的数学化过程，充分地激活了学生的生活经验，让抽象的数有了形象的认知载体，生活经验与数学经验无缝对接。

（二）思维支架，借助方格图思考

方格图直观、形象，可以使数学问题直观化、结构化，帮助学生掌握解题策略，提高学生解决问题的能力。因此，它是问题解决的重要思维支架之一。在杭州市2015年小学数学教学观摩活动中，笔者曾听到一节让人耳目一新的课，其教学过程简要叙述如下：

案例二：乘除法解决问题①本课由杭州市滨文小学虞建峰执教。

1.灰色图形的大小表示36，黑色图形的大小表示（ ）。

2.如果灰色图形的大小表示35，其他图形大小各是多少？

3.如果红色图形的大小表示35，那么大小是49的图形是怎么样的？请你画一画。

4.去除方格图，将图形变化成条形图（线段图雏形）。

5.一格小方格可以表示生活中的什么？与生活联系，形成文字问题，并列式解答。

在这节课中，教师借助方格图的直观、计算、操作与变化，逐步抽象出归一问题模型，整堂课独具一格！细细品味这堂课，可以说方格图是归一问题模型建构过程的思维支架，借助方格图，引导学生经历图形、符号与文字之间不断互译的知识加工与重组的过程。

（三）整理载体，借助方格图梳理

借助方格图，使知识关系与结构在一个整体内清晰地呈现。通过知识的纵横交错、清晰对比，使知识在学生头脑中形成结构化、可视化的体系。

案例三：“周长与面积整理与复习”教学片段

1.在方格图中画一画，想一想周长与面积有什么联系？

①周长是16厘米的长方形有哪几个？画一画，并算一算这些图形的面积，填在表格里。

②用16个小正方形拼长方形，在方格图中画一画，并算一算这些图形的周长，填在表格里。

2.练后组织反馈，呈现结果并追问：观察所画的图形和表格里的数据，你发现了什么？引导讨论，得出结论并板书。运用课件的动态演示强化规律。

3.辨析：“边长是4厘米的正方形的周长与面积相等”这句话对吗？

4.小结整理概念图表，明确周长与面积的联系与区别。

这个片段中，教师结合学生在方格图中画周长一定和面积一定的长方形的数学活动，引导学生探究长方形、正方形的周长与面积的区别和联系，经历知识再生成的理解过程，使知识竖成线、横成片，形成关于周长与面积这两个容易混淆的数学概念的知识结构。可视化的方格图为学生提供了整理支架，使知识梳理直观有效。

三、提升能力：思维层层递进

方格图使抽象的数学知识具体化、思维过程可视化、知识体系结构化。教学中，我们要对基于方格图的思维活动进行多元设计，在观察、计算、操作、想象、推理等层层递进的思维过程中，提升学习力。

（一）从具象到抽象，实现数学思维向精细化发展

借助方格图，将具象的方格和抽象的数学知识有机融合在一起，通过“实物图—方格图—数学符号”的沟通，呈现知识形成的思维路径，实现抽象思维的发展。

案例四：“小括号的认识”教学片段

1.数学活动：剪一剪。10个☆（一个☆占一个方格），先剪掉2个，再剪掉3个，还剩几个？(活动后尝试列式解答)

2.自主探究：结合图理解小括号的意义。

①将☆纸条抽象成方格图，谁在方格图上把刚才剪的过程用不同的颜色涂一涂。

②尝试列式：你能用不同的方法列式解答吗？

③反馈交流：想一想，下面这个图表示什么意思？哪个算式可以用它来解释？

A.10-2-3=5（个） B.2+3=5（个） 10-5=5（个）

C.10-（2+3）=5（个）

④沟通梳理：方法B和方法C都能用这个图来解释？虚线框表示的是什么？（一共剪了几个）通过动态演示，把虚线抽象成“()”，将灰色方块数和黑色方块数抽象成“2+3”。

将方格图抽象成色块图，比较两个方法的联系与区别，进一步理解小括号的意义。

3.尝试画图、解释、编题：12-（3+4）。

这节课中，通过具体活动情境的支撑，通过方格图、画图等策略，让学生心目中模糊的小括号变得清晰，促进意义理解。借助实物图、方格图、抽象色块图之间从具体到抽象的数学化过程，通过情境与符号、图形与算式、算式与算式，算式、图形与生活之间多重互译的过程，加深对小括号意义的理解，实现数学思维从具体到抽象、从粗放到精细的转变。

（二）从有形到无形，实现数学思维向多维化发展

方格图是外在有形的，思维是内在无形的。小学生的空间想象能力比较薄弱，他们的数学思维相对单一，将方格图从有形到无形变化，使思维更为宽广，实现数学思维向多维化发展。例如，百数表是一份富有数学结构的、挑战性的、变式的、思考性的、抽象性的学习材料。借助方格图，将数与形结合，让学生加深对百以内数的认识以及排列规律。通过一张百数表多次使用，架构一个集观察、表达、推理、想象等多维数学活动于一体的智慧课堂。

（三）从符号到图形，实现数学思维向灵活化发展

数学符号、图形语言、生活语言是一个不断沟通转换的过程，在这个过程中，知识不断来回互译，思维不断碰撞发展，思维的灵敏度得到培养。

案例五：方格图涂色规律

1.下面图形的方格一共有几格？仔细观察涂色规律，将算式与图形连起来。

①1+3+5+7+9 ②1+8+16

③1+2+3+4+5+4+3+2+1

2.猜想：1+3+5+7+9+11+13的算式，你认为是（ ）×()的方格图。

3.涂色：根据算式，在方格中涂一涂。

①1+3+5+7+9+11+13 ②1+8+16+24

③1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1

4.自己设计一种规律，在方格图中涂一涂，并列好算式。

形与式搭配，结合了观察、计算、操作、想象、推理等思维活动，渗透了“数形结合”“数的守恒”等数学思想，并渗透了平方数这一后续学习的知识点，这不仅是对数学思维有序性的培养，更是对数学思维灵活性和变通性的考量，方格图在这个过程中起到了不可估量的作用。

方寸之间，独具一格。方格图既是信息的解释工具，建立直观、形象、抽象间的连接，促进知识从形象化到形式化转变；又是知识建构的工具，学生通过观察、画图、表达等行为方式将自己的数学思想以直观的形式表达出来，表现自身对数学的深层次理解。其实，数独、俄罗斯方块、九宫格等数学思维游戏，都是凭借方格图这一载体。数学是深奥的，方格图是生动的，让方格图承载更多的数学知识与思维，使学生的数学能力获得更大的发展空间，尽显数学课堂的大智慧。

[1]葛素儿.思维可视,情理相融——图式思维在第一学段数学教学的应用策略[J].教学月刊·小学版（数学），2015（10）.

[2]王晶晶.数学小方格，教学大智慧——方格图在教学中的应用与再开发[J].江苏教育·小学教学，2014（05）.

[3]宋应开.小小方格，大大学问——方格一例小议“数学思考”[J].中学数学研究，2015（05）.

[4]林海涨.“方”寸之地，自成一“格”——谈方格图在数学学习中的有效应用[J].小学教学设计，2015（02）.

（浙江省杭州市富阳区富春第二小学 311400）

（注：本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）