合情推理的内涵与教学策略

2016-02-15朱志明郑欲晓

教学月刊(小学版) 2016年14期

□朱志明郑欲晓

合情推理的内涵与教学策略

□朱志明郑欲晓

合情推理能力的培养是小学阶段数学教学的核心问题，就目前而言，学生对于合情推理掌握得并不理想。针对合情推理的内涵，阐述了挖掘合情推理的载体、搭建合情推理的桥梁、重视合情推理的过程和把握合情推理的内涵等四条策略。以期促进数学合情推理能力发展目标的实现。

合情推理内涵策略

数学教育是促进学生全面发展的重要组成部分，数学课程在培养人的推理能力和创新意识方面具有独特的功能。因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习与生活中经常使用的思维方式。”尽管推理能力在小学数学教学中如此重要，但教学效果并不理想，尤其是合情推理，不仅学生认为“举例验证对了，结论就是对的”，连教师也有不少模糊认识。有研究表明，66.7%的教师认为“归纳推理得出的结果一般是正确的”“更有甚者，22.2%的人认为‘归纳推理得出的结果一定是正确的’。而持正确观念‘归纳推理得出的结果不一定是正确的’却仅有11.1%”。[1]如何改变这一局面呢？笔者认为可以从理解内涵、寻找策略着手。

一、合情推理目标的内涵解析

《课标》指出：“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”，并将数学推理课程目标表述为“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰表达自己的想法”。其中小学阶段的推理能力培养主要指合情推理，《课标》对第一学段与第二学段的合情推理能力培养提出了相应的具体要求（如右上表）。

（一）合情推理能力培养贯穿于数学教学的始终

合情推理能力的培养与“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分的教学内容休戚相关。数的运算法则、图形与几何公式、性质等的推导过程大多包含合情推理。在教学过程中，教师需选取合适的教学材料，为学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历“观察、实验、猜想、验证等数学活动过程”。

“合情推理”课程目标学段分布表

（二）合情推理能力培养是一个循序渐进的过程

小学生数学合情推理能力的提升有其自身的特点和规律，不是一蹴而就的，需要长期的、循序渐进的教学实践。因此，教师应以学生的身心发展特点、活动经验水平为前提，分层次、分阶段提出不同水平的要求，从而提高学生合情推理能力培养的实效性。

（三）合情推理能力培养需践行严谨思考

不完全归纳推理和类比推理统称“全情推理”，又叫作“或然推理”“似真推理”，顾名思义，它们常常看似合情推理，结论好像是、应该是对的，可实际上却可能是错的。[2]在小学阶段，由于小学生年龄特征和知识拥有量的限制，小学数学教材里的数学知识未必是严密的，每一个结论不可能都用严格的逻辑证明来实现，往往通过合情推理得出，但只通过合情推理得出的结论是远远不够的，这就要求教师在教学实践中让学生确立“合情推理与证明”的意识。

二、合情推理的教学策略

真正有效地提高学生的合情推理能力，教师必须将数学推理目标作为课堂教学设计与实施的一个基本出发点，落实到日常教学之中。

（一）挖掘合情推理的载体，让推理有经历

小学数学教材中，数学的公式、法则、性质的发现过程不仅是数学家智慧的体现，也是进行数学合情推理的典范，为教师展示合情推理提供了取之不尽的素材。因此，教师要挖掘教材，选择适宜的学习材料，认真研究其思维结构，寻找培养数学合情推理能力的生长点。

如北师大版五年级下册“分数加减法”，教材根据折纸情境（见图1），引出了三个问题串，第一个问题（图2）与第二个问题（图3）分别是用折一折、画一画来说明相加、相减的计算过程，第三个问题（图4）是先让学生根据上面所获的经验再分别算一算两分数的相加和相减，在此基础上再归纳异分母分数加减的法则。教学时要注意两点：一是要让学生用画图或折纸的方式说明异分母相加、相减的计算过程，把握了这一点，学生就经历了由形到数的推理过程；二是完成前两个问题后不要急于归纳，待完成第三个问题，学生处于“心求通而未得，口欲言而未能”之时，再让学生寻找四个算式计算过程中的相同点和不同点。完成了异同点的归纳，实际上是学生经受了不完全归纳推理的洗礼。这是小学数学法则教学常用的方法，也可称为“举三归一”。

图1

图2

图3

图4

（二）搭建合情推理的桥梁，让推理有依据

学生展开合情推理学习的前提是其原有认知结构中具备了同化新知的已有经验，这种经验可以是知识，如上位概念或相似概念，也可以是生活经验，如原型激活。[3]由此不难想到搭建合情推理的桥梁可以是复习引领，也可以是原型启发。

1.复习旧知，搭建桥梁。

当学生面对新问题时，如果与之相关的上位概念或相似概念较少，不够清晰，那么相关的合情推理活动就难以顺利展开。要使所教知识让学生深刻理解并能融入原有知识形成新的认知结构，就必须重新组织教材，精心设计学习活动，在学生“已经知道的”与“需要知道的”知识之间架设起桥梁，为学生合情推理打好基础。

例如，上面提到的“异分母分数加减法”的教学，教师可设计一组整数、小数和同分母分数加减法，练习后引导学生归纳这些计算过程背后隐含的共同核心要点“相同的计数单位才能直接相加减”。学生有了这一基础，就不难开展相应的合情推理活动，主动猜测并尝试异分母分数加减法计算：先通分转化成同分母分数，再计算。

2.激活原型，搭建桥梁。

生活的原型往往会启发学生展开类比、联想，获得灵感。其原因是，小学生以直观思维为主，这就决定了他们认识新的数学概念时，往往会比较依赖于日常生活中常见的实物原型，进行类比推理。

例如，北师大版五年级上册“认识底和高”，教材安排了“限高”的情境（见图5），教学时要让学生想一想、说一说、画一画“限高”的含义，进而类推出梯形的高是上底的任一点到下底的垂直线段。

图5

（三）重视合情推理的过程，让推理有路径

推理能力的培养贯穿于整个小学数学课程的学习内容，贯穿于数学课堂教学的各种活动过程，贯穿于整个数学学习的各个环节。在小学数学教学中，教师要构建合情推理的课堂教学模式，引导学生经历与完成相应的数学推理活动过程，[4]使学生的推理有路径。

下面以北师大版六年级下册“圆柱的体积”教学为例，说明第二学段类比推理教学模式的组成。

1.创设问题情境，激活先前经验。

师：谁来说一说长方体的体积是怎样计算的？

生：底面积乘高。

2.开展观察，类比猜想。

师：根据长方体体积的公式，请猜想圆柱的体积公式。

生：圆柱的体积公式也是底面积乘高。

板书：

3.推理论证，检验猜想。

师：请尝试验证你的猜想，并在小组中交流。

学生在交流中，说明了圆柱与所变成的长方体体积相等，底面积、高也分别相等，由于长方体的体积是底面积乘高，所以圆柱的体积也是底面积乘高。

课堂小结时，还应让学生回顾类比推理学习的主要步骤：创设情境—类比猜想—推理论证。

值得注意的是，不完全归纳推理与类比推理的模式有所不同，其模式一般是：创设情境，尝试解答—再举例模仿解答—归纳结论。

第一学段的类比推理模式主要指：创设情境—类比—猜想。

这样的模式经历多了，学生遇到类似的问题情境时，就会轻车熟路地进行合情推理。

（四）把握合情推理的内涵，让推理有“经验”

前文说到合情推理具有或然性，它们常常看似合情推理，结论好像是、应该是对的，可实际上却可能是错的。怎样让学生感悟合情推理这一局限性呢？唯有让学生积累“经验”。这里说的经验既指通过合情推理得到的“真”经验，更指通过合情推理可能出现的“伪”经验。只有这样，才能让学生确立“合情推理与证明”的意识。

1.新授课要注重渗透合情推理的或然性。

例如，2，5，3的倍数特征可以一概利用百数表让学生探究。

由2的倍数特征类推5的倍数特征正确，2，5的倍数都分布在列上。由2，5的倍数特征分布在列上，类推3的倍数特征也分布列上，学生只需观察所圈的百数表（见图6）就不难发现无效的结论。学生继续探索发现3的倍数排列成了“斜行”。他们观察斜行，首先发现的规律往往是“十位数依次加1，个位数依次减1”。此时，教师只要追问“斜行的数什么不变”，学生就会发现十位数与个位数的和不变。就这样，3的倍数特征呼之欲出了。