谈儿童数学教育视角下的“运算能力”培养

□于萍

谈儿童数学教育视角下的“运算能力”培养

□于萍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将“运算能力”作为十大核心概念提出，由此引发了数学教学中关于计算教学的新讨论。基于儿童数学教育视角下的“运算能力”培养，就是要将儿童的全面且富有个性的发展作为目标，遵循儿童的认知与发展规律落实能力培养。通过以小数的四则运算教学为例，提出发展儿童运算能力首先要调动经验，帮助其“找感觉”，然后借助直观“找方法”，最后沟通联系，促进儿童有所提升。这样基于儿童的运算教学目标，才能有效得以实现。

儿童数学 运算能力 小数运算

“运算能力”是针对计算教学提出的。以前基础教育阶段的数学教学非常注重“双基”，其中关于计算的“基本技能”就是很重要的内容。《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求从“双基”变为“四基”，这对计算教学也提出了新要求。从“计算技能”的教学到“运算能力”的培养，需要教师从理念到实践都有所改变。在小学阶段，运算教学所涉及的内容非常丰富，主要包括整数、小数和分数的运算，本文仅以“小数运算”的相关教学内容为例进行阐述。

一、基于儿童的运算教学目标分析

在我国近百年来的小学数学教学中，计算一直是重要的学习内容。随着数学教育的发展与改革，计算教学的内容有增减过，熟练程度的要求也在不断变化。从1978年起提出删减“过繁计算”，2001年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出“应重视口算，加强估算，提倡（鼓励）算法多样化”，并强调“避免将运算与应用割裂开来”。十年后，《义务教育数学课程标准（2011年版）》增加了核心概念“运算能力”，主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。无疑地，基本运算以其实用价值性和基础价值性，使其始终成为非常重要的教学内容。然而对运算教育价值的不同诠释也带来了不同时期对运算教学的目标要求。

很显然，“运算能力”的提出更强调学生要在学习运算的过程中经历理解算理、探寻算法的过程，因为只有学生真正理解了，才可能达到以合理、简洁的运算解决问题的目标。教师对运算教学的设计应充分考虑儿童的认知经验和学习需求，不以技能的掌握作为唯一目标，而是既要注重引导学生掌握运算方法，形成技能，更要在感受算理、建立联系的过程中发展思维，提升能力，帮助学生收获快乐的数学学习体验。教师还应注意在运算速度以及正确率方面准确把握要求，不能过高或过低地要求学生，也不要以结果性指标过早地在教学过程中用来监控所有学生。

二、基于儿童的运算能力发展策略

基于对儿童数学教育的实践研究，围绕儿童学习的基础、需求和认知规律提出以下几方面发展学生运算能力的教学策略。

（一）调动经验：帮助儿童“有感觉”

儿童的数学学习是与生活紧密联系的，基于生活经验的学习是更利于学生理解和接受的。因此那些来自生活的问题或实例不仅有利于学生感受运算的价值，更有助于学生深入地分析和理解运算本身。

1.“举例子”带来的豁然开朗。

在计算教学中，对算法的探寻和对算理的解析是教学重点，常常也是教学的难点所在。教师可以用“举例子”的方法引导学生调动已有的认知经验，进而理解新知识。例如，在“小数加减法”教学中，教师引导学生自主编题，于是出现了“0.8+3.74=”，对此题的分析是揭示“小数点对齐”这一算法的好时机。但为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程，教师先让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。

师：你们以前做过很多加减法题，无一例外的都是把末位的两个数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？

生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。把小数点对齐，也就是相同数位对齐。如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的8就和百分位的4对齐了，相加之后肯定就不对了。举个例子说吧，比如买两样东西，一个是0.8元，另一个是3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不对了。即便得到12，既不是12角，也不是12分。

教师应充分肯定学生“举例子”的好方法，虽然是简单的方法，但却揭示了深奥的道理，让大家豁然开朗。看似和整数加减法不太一样的“小数点对齐”其实和“末位对齐”一样，都是为了确保“相同数位对齐”，而相同数位对齐背后的道理就是“相同计数单位的个数直接相加减”。对算理的深入分析有助于学生更牢固地掌握算法，并为在多种算法间建立联系奠定基础。

2.“估一估”引发的反思调整。

许多教师在教学中都会感到，学生在进行小数运算时错例会明显增加，有时是失之毫厘，有时却是差之千里。而学生面对这些错例常常是“毫不察觉”，究其原因，一方面是因为小数比整数更复杂，学生对小数运算更不容易“有准确的感觉”，小数乘、除法更为显著；另一方面是学生对小数运算的意义理解不深入，对结果缺少预估（或预判）的意识。这就需要教师为学生创造机会感受“先估后算”的价值。例如在进行“除数是整数的小数除法”教学时，当出现“22.4÷4=”后，教师不急于引导学生探究算法，而是先引导学生“估一估”结果会在哪两个整数之间。

生：20÷4=5、24÷4=6，因此22.4÷4的结果一定比5大且比6小，应该是5点多。

在此基础上，教师进一步引导学生计算和分析，进而分析算理，探寻算法，同时也验证“估”的结果。

有了“估一估”的第一印象，学生能够对一个小数除法的计算结果有个初步的、粗略的判断，这将有助于学生获得更准确的结果。在小数运算中，小数点的处理是难点之一，而“估一估”的方法可以有效帮助学生主动调整因点错小数点而出现“差之千里”的情况。因此，强化“先估后算”带来的反思与调整，不仅仅是学生掌握算法的有效策略，更是学生不断丰富运算策略，提升运算能力的抓手。正如林崇德教授指出的那样，儿童的数学概念和运算能力，就是通过他们认知活动的实践，不断发现和解决这种矛盾，从而逐步发展起来的。

（二）借助直观模型：引导儿童“找方法”

直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形、数直线等。在计算教学中，直观模型是帮助学生理解算理、掌握算法的重要方式。这一点基本可以贯穿小学阶段的所有运算教学。

1.借助直观模型，探究算理。

在计算教学中，算理比算法更“隐蔽”、更抽象，学生要分析算理就需要对算法做出解释，这通常需要一个情境使算理得以外显。学生在认数过程中所借助的直观模型就可以发挥重要的作用。例如在认识小数时，教材中提供了正方形、数线等直观模型（如下图1所示），学生能够将直观图形与小数建立起紧密的联系。

图1 小数的意义

在进行小数加减法运算教学时，就可以借助直观图进行算理分析，理解相同计数单位的数才能够直接相加减（如图2）。

在进行小数乘法的运算教学时，还可以继续借助直观图帮助学生理解计数单位的累加过程（如图3）。类似地，在小数除法的教学中，可以借助图清晰地呈现计数单位与计数单位的个数，以及平均分的过程（如图4）。

图2 小数加、减法

图3 小数乘法

图4 小数除法

这些直观图的使用具有一致性和连续性，有助于学生在认识小数的基础上，自主迁移经验，探究小数运算的方法和道理。让“看得见”的图形来帮忙，是儿童学习数学的心理需求，也是实现有效学习的重要规律。

2.借助直观模型，巩固算法。

除了在探寻理解算理、归纳运算方法的过程中，教师要注重发挥直观模型的作用，在巩固算法的练习中也值得不断借助直观模型，帮助学生深化认识、提升能力。例如在“小数加减法”一课的练习环节中，教师在学生已经初步掌握小数加减法竖式运算方法的基础上，设计了“小卡车该停在哪儿”的活动，通过直观的动画演示，帮助学生强化对运算方法的掌握，以及对算理的理解。

师：竖式中的被减数已经写好了，减数放在了小卡车上，卡车停在哪儿合适呢？

（课件出示：卡车自右向左行驶）

师：停在这里行不行？

生：不行，因为小数点没有对齐。车得继续往前开，直到小数点对齐。

师：载着第二个加数的小卡车已经准备出发了。

师：咦，怎么没停？卡车司机有问题：“12没小数点，怎么对齐呀？”

（课件出示：卡车自左向右行驶）

生：12的后面有小数点，卡车需要倒回来。

课件根据学生要求进行动态演示，直至小数点对齐。

生：这下可以计算了，结果等于12.43。

形象的动画演示支撑了学生对计算方法的直观理解和辨析，进而有效促进了学生对运算方法的掌握。总之，在运算教学中，充分发挥直观模型的作用，有助于学生更加直观地理解运算道理，更准确地掌握运算方法，并在理解的基础上更灵活地解决问题。

（三）沟通联系：促进儿童“有提升”

在小学数学教学中，数的运算通常是分在不同册、不同单元中进行的。例如四年级下册学习“小数加减法”单元，五年级上册分别学习“小数乘法”及“小数除法”两个单元。这样的安排，必然使得学生在一段时间内相对集中地面对同一种（或一类）运算。然而，运算能力的培养只依靠不同方法的“分头操练”是不够的，还需要适时地将这些不同的方法“集结盘点”，以建立联系，达到融会贯通的目的。

1.沟通概念，建立知识网。

不同的运算有不同的方法，学生学习每种运算时都是分别进行的，然而不同的运算背后是否有相同的道理呢？在对比中强化算理，有助于提升学生运算能力。例如在学生已经熟练掌握小数乘法计算方法后的一节“小数乘法练习课”上，教师设计了两次对比的辨析活动。

第一次对比：小数乘法计算方法中两步的对比

师：请你计算0.12×3.4=，并说一说你是怎样算的。

生：小数乘法就是先按整数乘法算出积（12× 34=），再给积添上小数点（从右数出3位）。

师：看来，小数乘法在算的时候都会有个整数乘法做“隐形替身”，那同一个整数乘法都能给哪些不同的小数乘法做“替身”呢？它们的运算结果有什么相同，又有什么不同？

生举例：0.12×3.4=，0.12×0.34=，12×0.34=……

分析：这些小数乘法都是由一个替身算出来的，结果也都可以根据408变化而来，但又不完全相同。它们计数单位的个数是相同的，都表示408个“什么什么……”但它们的计数单位不同，有的表示408个0.1，有的表示408个0.01，还有的表示408个0.001……

师：由此可知，小数乘法的计算方法中第一步“先按整数乘法算出积”，其实算出了乘积包含计数单位的个数，而第二步“再给积添上小数点”就是在确定积的计数单位。

第二次对比：小数乘法与整数乘法的对比

师：这个整数乘法除了可以做小数乘法的“替身”，在整数乘法中，是否还可以发挥“替身”的作用呢？

生：尾数带0的乘法吧，因数末尾有0的乘法，我们通常就先不看末尾的0，算完之后再添0。例如120×3400=，我们通常都不用“末尾对齐”的方法一层一层地算，这样太麻烦了。可以先将因数末尾的0“甩出去”不看，算完之后再添上。

出示：

师：同学们都更欣赏第二种算法，很显然它更简洁，但这样算的道理是什么呢？

学生结合实例展开分析发现：当我们将120×3400看作“12×34”这个“替身”的时候，“先不看因数末尾的0”其实就是改变了因数的计数单位，只算12× 34得到的408是乘积计数单位的个数。至于乘积应该是408个什么？那还得看因数的计数单位：10× 100=1000，所以乘积应该是408个1000，就要在408的后面添上三个0。

这样的小数乘法练习，帮助学生在初步掌握算法的基础上不断深化认识，在对比中沟通联系，挖掘核心概念，在“回头看”的活动中构建知识网。这个知识网的获得离不开学生对核心概念的深入理解和灵活运用，这本身就是运算能力发展的重要标志。

2.沟通运算，建立方法网。

整数、小数和分数的运算法则通常是不同的，教学时也是分别进行的。因此，常常留给学生的印象也是“独立的”“不同的”和“不能混淆的”。其实，看似不同方法的背后却都藏着相通之处，值得学生去发现和感悟。例如在教学“小数除法”时，教师设计了两次平均分的活动：第一次是将7支钢笔平均分给2人，怎么分？用算式表示。学生列式是7÷2=3……1。第二次是将7元钱平均分给2人，怎么分？用算式表示。学生想到将7元钱平均分给2人，每人可以先分到3元，剩下的1元换成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。于是产生了都是7÷2，为什么商却不同？学生发现分钢笔，剩下1支就不能再分了；分钱，剩下的1元可以换成10角继续分。

在接下来学生自主探究“11÷4=”时，先以“1”为单位分有剩余，化小计数单位继续分，这种让余数“变得更碎”的方法，其实是在变小余数的单位。计数单位小了，计数单位的个数就增多了，就可以继续平均分了。以“0.1”为单位分又有剩余，那就继续化小计数单位接着分。此时，便有学生在思考，如果分的结果总是有剩余，总也分不完怎么办？其实，他已经预见了循环小数的出现。这样的对比活动，有效地建立起了整数除法与小数除法之间的联系，学生在整数除法中从高位除起，即先平均分较大的计数单位的个数，分后有剩余就化小计数单位与低一位的数合起来继续分，分了还有剩余就继续化小计数单位接着分……直到分到以“1”为单位，即分到个位为止，即便有剩余也不再分了，就当作余数“留在那里”。而小数除法只是接过了整数除法的“接力棒”，打破个位的局限，继续化小计数单位接着分下去而已。看似不同的整数除法与小数除法竟然是一回事儿，方法与方法对接，在儿童的心中织起了一张富含联系的“方法网”。

这是一个将算理与算法相融合的教学过程，学生始终借助对平均分的认识以及对数概念的理解进行尝试和探索，进而慢慢感悟、发现计算方法。这种通过沟通建立起的“方法网”，有助于学生更充分地理解算理，并抽象出算法。

三、基于儿童运算能力培养的教学建议

着眼于对学生运算能力的培养，首先需要教师对教学内容有结构性的认识，把握其深层次的内在关系，其次需要教师在计算教学中处理好以下几组关系。

（一）注重“算理”与“算法”的贯通

运算教学从低年级就开始了，算理的分析与算法的掌握伴随运算教学始终，两者总是交错进行、相互促进的。因此，无论是哪个学段的教学都应注重算理与算法的纵向贯通，使每部分的学习都与学生已有的认知经验对接。这有助于帮助学生对运算形成贯通式的理解，这是形成运算能力的重要途径。

（二）注重“概念”与“运算”的联系

数的运算隶属于“数与代数”领域，它与数的认识紧密联系。学习数概念时，应突出对计数单位、十进位值制等核心概念的深入领会，这是使学生更顺利地进行运算学习的坚实基础。

（三）注重“新课”与“练习”的并重

运算能力的获得不可能一蹴而就，需要在学习过程中循序渐进，不断感悟，不断提升。教学某种运算方法的新授课，必然承载着培养学生运算能力的重要任务，此外，与运算相关的练习课也是培养学生运算能力的重要契机，不容忽视，需教师精心设计。“算理不能只是第一节课前半段的事情，要在初懂算理的基础上得出规范的计算程序，以后再懂其道理，乃是正常认知过程。”

（四）注重“短期目标”与“长期目标”的对接

数学知识是一个充满了联系的系统，运算教学亦是如此。因此，教师在进行每个具体运算内容的教学时，心中既要有“短期目标”也要有“长期目标”。具体包括课时目标和单元目标的对接、单元目标和运算领域总目标之间的对接，还包括知识目标与能力目标的对接……当然，教学中总会出现学生个体与群体之间的差异，这就需要教师一方面在运算的难度和速度方面提出合理而适度的要求，同时还应在总目标下为学困生留有发展的空间，允许他们在一段时间内慢慢赶上大家，不让运算成为儿童数学学习的“绊脚石”，让儿童在运算中都获得成功的喜悦，这也是实现知识“短目标”与育人“长目标”之间的有效对接。

总之，在儿童形成数学概念和掌握运算法则的过程中，各种认知系统发生着复杂的相互作用。需要教师深入分析学生的认知规律与需求，准确把握知识结构，创造性地设计充满联系的教学内容，儿童将会在运算的世界中感受到思维的乐趣，收获成功的喜悦。

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之六——运算能力（上）[J].小学数学教师，2014（3）.

[2]周玉仁，杨文荣主编.吴正宪的儿童数学教育[M].北京师范大学出版社，2010.

[3]林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究[J].心理学报，1981（3）.

[4]张丹.再谈“整体把握”数的计算教学[J].小学教学（数学版），2010（10）.

（北京小学 102400）