高考数列创新问题的求解

☉湖南省衡阳市第一中学 李成效

高考数列创新问题的求解

☉湖南省衡阳市第一中学 李成效

高考为高校选拔具有创新意识的优秀生源提供了便利，而创新试题具有良好的选拔功能.因此近几年来各省市的高考压轴题在对创新意识的考查方面表现得尤为活跃，涌现出了一些构思新颖、意境深远的命题，从不同的角度考查考生的思维水平、创新意识、学习潜能以及对所提供的信息从逻辑关系上进行整理和分析的能力，希望考生能用已学过的知识和方法，通过分析与综合，找出已知和未知的联系，尝试解决新的问题.数列创新问题的考查是高考命题的重要形式，此类问题能有效考查考生应用所学知识解决新问题的能力，因此备受命题人的关注.那么具体采用什么样策略，才能顺利解答此类问题呢？下面引例说明.

一、问题展示

题目设数列｛an｝满足：①a1＝1；②所有项an∈N*；③1＝a1＜a2＜…＜an＜an+1＜….

设集合Am＝｛n|an≤m，m∈N*｝，将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列｛an｝中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列｛bn｝为数列｛an｝的伴随数列.

（Ⅰ）若数列｛an｝的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列｛an｝；

（Ⅱ）设an＝3n-1，求数列｛an｝的伴随数列｛bn｝的前30项的和；

（Ⅲ）若数列｛an｝的前n项和Sn＝n2+c（其中c为常数），求数列｛an｝的伴随数列｛bm｝的前m项的和Tm.

我们学习中经常会遇到所谓的“难题”.“难”，难在哪？笔者通过研究发现：“难”并不在本质，而是在“形式”，“形式新颖”是难题的主要标志.当遇到“难题”或新颖的试题而一筹莫展、无从下手时，不妨先把问题简化一下，以突出其关键信息，特别是“把一个比较复杂的问题，“退”成最简单、最原始的问题来求解，把这个最简单、最原始的问题想通了、想透了，然后再进行归纳、总结，从而实现质的飞跃，这是解答好创新问题的一个诀窍.

二、问题分析

本题是一道新定义的题目，第（Ⅰ）问较为基础，只要我们准确把握新定义的内涵并灵活应用即可轻松解答.当然这里的应用既包括正用，也包括逆用和变形用.第（Ⅱ）问以特殊的等比数列为背景，考查了我们对新定义的深入理解.第（Ⅲ）问将所给的数列隐藏于关系式Sn＝n2+c中，但利用我们所学知识不难得出其等差数列的背景.本题考查了数列的概念、数列的基本性质，考查了考生的运算能力、推理能力以及分类讨论等数学思想方法.总之为了解答好此题，必须通过理解定义，弄清定义的本质，方可以不变应万变.

三、问题解答

（一）弄清新定义的内涵

新概念型题目是培养教生探究和推理能力的良好素材，解决这类问题的关键在于从一般的情况进行探究，使教生充分认识试题的本质，建构知识，进一步培养教生的探究、推理能力.创新问题往往新在形式，弄清新定义问题的本质，是解决此类问题的关键.如何来准确认识新定义的本质呢？我们可以从简单的情况入手.

例1数列｛an｝：1，3，5，求数列｛an｝的伴随数列.

解：当m＝1时，满足an≤1的最大项为a1，所以项数最大值为n＝1，即b1＝1.

当m=2时，满足an≤2的最大项为a1，所以项数最大值为n=1，即b2=1.

当m=3时，满足an≤3的最大项为a2，所以项数最大值为n=2，即b3=2.

当m=4时，满足an≤4的最大项为a2，所以项数最大值为n=2，即b4=2.

当m=5时，满足an≤5的最大项为a3，所以项数最大值为n=3，即b5=3.

所以数列｛an｝的伴随数列为1，1，2，2，3.

（二）逆向探究新定义的本质

学习一个定义、定理或性质的目的是应用其解题，应用的过程并不仅局限于正向应用，还包括逆向应用和变形应用，进而实现对所学知识的活学活用.第（Ⅰ）问给出伴随数列，反求｛an｝，加深了我们对新定义的正确认识.

解：由条件知，a1=1.

因为b1=b2=b3=1，即满足条件an≤1，an≤2，an≤3的最大项均为a1，所以a2>3.又因为b4=2，所以a2≤4，而an∈N*，所以a2=4.

同理可得a3=7.

所以伴随数列为1，1，1，2，2，2，3.所以数列｛an｝为1，4，7.

（三）由一般到特殊，实现新定义的拓展

适用于一般情况的结论，对特殊情况一定成立.等差、等比数列，是我们所学的两个最基本、最重要的数列，其有各自独立的通项公式、求和公式及相应的性质.第（Ⅱ）问给出数列｛an｝的通项公式an=3n-1，即｛an｝为等比数列，将问题推广到特殊数列形式.

解：由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m（m∈N*）.

当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，

当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，

当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，

当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4.

故b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84.

点评：等比数列有固定的通项公式，因此对相关项的讨论可用其通项公式来完成.定义要求an≤m，即an= 3n-1≤m，从而得出n≤1+log3m（m∈N*），使得n与m之的关系具体化，进而将伴随数列的求解程序化.

（四）由等比到等差，体现新定义的迁移

类比就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式，也就是迁移后的新问题与原问题实质是一样的，或部分地改变原对象的实质，对所得结论进行必要的修正.在创新题的解题过程中，通过类比与迁移，化新为旧、化繁为简、化难为易，从而解决问题.对一个新的问题，关键是把不易解决的陌生问题转化为已经解决过的类型或易于解决的问题.

第（Ⅲ）问将所给数列隐藏于条件Sn=n2+c中，利用an=Sn-Sn-1即可得出该数列为等差数列，从而将问题由等比过渡到等差的形式，体现了新定义的迁移功能.

解：因为a1=S1=1+c=1，所以c=0.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，所以an=2n-1（n∈N*）.

由an=2n-1≤m，得n≤（m∈N*）.

因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，所以

b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t-1=b2t=t（t∈N*）.

故应对项数为奇数和偶数两种情况进行分类讨论：

当m=2t-1（t∈N*）时：

所以Tm=

点评：有了前面对等比数列的伴随数列的求解，那么对等差数列伴随数列的求解就显得顺畅自然了.同样利用新定义得出an=2n-1≤m，即n≤（m∈N*），这是问题顺利求解的关键.另外本问的易错点是忽略对项数为奇数和偶数的讨论.

四、变式解答

例2对于数列｛an｝，定义数列｛bn｝如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值，如｛an｝是单调递增数列，a3=4，则b4=3；若数列｛an｝的通项公式为an=2n-1，n∈N*，则数列｛bn｝的通项公式为_________.

本题也是一道新定义的题目，要想解决它必须通过理解定义，转化条件，化难为易，不断地向我们的最近发展区靠拢.

解析：理解新定义：｛an｝是单调递增数列，即a1＜a2＜a3＝4＜a4＜…，那么满足an≥4的所有n中的最小值只能是3，所以b4＝3.

所以答案是bm＝

通过上述各问题的解答过程，不难发现，所用的知识方法都是我们熟悉的内容.充分体现了高考考查同学们利用所学知识解决陌生问题的能力.

近年高考压轴题大多体现在以数列为背景附加“新定义、新运算”的创新题目，目的在于考查考生对数学定义的阅读理解和数学运算的能力，严密的逻辑思维和推理论证能力，综合运用所学知识和方法解决问题的能力.这类问题往往淡化解题技巧、突出对考生数学思维能力的考查，要求考生能从问题中准确提取有效信息，理解新的数学概念本质，进行创造性的分析与推理.有效地考查了考生学习潜力和数学理性思维以及综合运用数学思想方法创造性地解决问题的能力.Z