数学教师对定义性概念教学的适应性研究*

2016-02-13巩子坤李宁宁汪

教学月刊（中学版） 2016年13期

关键词：异面成角公理

□巩子坤李宁宁汪胜

（1.杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036；2.杭州第四中学，浙江杭州 310018）

数学教师对定义性概念教学的适应性研究*

□巩子坤1李宁宁1汪胜2

（1.杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036；2.杭州第四中学，浙江杭州 310018）

通过对两位高中数学学科带头人有关异面直线所成的角的概念教学研究发现，有的教师对于定义性概念教学，存在不适应的问题，没有整体把握概念形成的大思路，没有理清概念引入、形成、引出的逻辑脉络.因此，教师在定义性概念教学中，要区分不同的概念类型，开展符合认知规律与数学逻辑规律的针对性教学.

定义性概念教学；适应性；异面直线所成的角

一、问题的提出

（一）研究的背景

实现课程改革目标的关键在于教师.有研究表明，现有高中数学教师的教学思想、教育技能与新课程理念还是比较接近的[1].但也有研究指出，从理论上讲，新课程理念能够为一线教师所接受，但是理念要转化为行为，在课堂实施中不走样，尚需一段时日.如今，阻碍改革顺利进行的问题重心已经从理解“为什么”转到了思考“怎么做”[2].

以上研究，大都从宏观的视角，探查了数学教师对课改的适应性，缺乏对于“怎样做”的微观思考.本文基于两位数学教师“异面直线所成的角”课堂教学案例，微观探查教师对概念教学的适应性.

（二）主要概念的界定

概念是对一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的简明、概括反映.按照加涅的分类方法，数学概念可以分成具体概念与定义性概念.

具体概念指一类事物的共同本质特征，这些特征可以直接通过观察获得.获得具体概念就意味着能识别事物的“类别”.比如，通过对几个三角形的观察，获得“三角形有三条边，三个角，三个顶点”.

定义性概念指一类事物的共同本质特征，这些特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示.定义性概念是对属性及属性间关系的言语陈述.比如，三角形的定义是“由三条线段首尾相接构成的封闭的平面图形”.

（三）研究问题的阐述

异面直线是高中数学的核心概念[3].为了进一步刻画该概念，必须引入异面直线所成角的概念．异面直线所成的角是定义性概念，定义性概念可以通过概念的形成来教学.定义性概念是怎样形成的？教学环节中呈现的顺序是否符合概念形成的认知规律？是否符合定义性概念定义的逻辑顺序？教学用时能保证这些环节的顺利展开吗？

二、研究的设计

（一）理论基础

数学概念的学习，主要有两类过程，一是概念的形成，二是概念的同化.就概念形成而言（本研究主要涉及概念的形成），其实质是抽象出某一对象共同本质特征的过程.其一般过程包括：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、形成.

对于数学概念（或者原理）的学习，可以从以下三个维度进行分析：引入，即为什么、用什么样的情境来引入概念；形成，即如何探究形成该概念；引出，一方面应用该概念解决问题，另一方面，该概念又引出了哪些新概念，如若引出了新概念，则该概念就成为了新概念引入的情境[4].

（二）研究对象

2015年上半年，来自浙江省内的30名高中数学带头人聚集一堂，开展主题为“数学课堂教学设计与实践能力提升”的学习与实践.这些教师的概念教学具有代表性.

本文的研究对象是两位学科带头人，研究载体是异面直线所成角的概念教学.

（三）数据收集与分析

两位教师于同一天，在一所省级重点高中，先后进行了“空间中直线与直线之间的位置关系”一节课的教学.我们进行了视频拍摄，然后将这两节课的视频转录成文字.我们从定性、定量两个维度，分析两位教师的教学.定性的维度是教学环节亦即教学安排；定量的维度是教学环节的用时.

三、结果与分析

（一）概念形成的顺序、逻辑

1.教师A概念形成的顺序（教师A概念形成的思路见图1）

图1

教师A：（学习了异面直线的概念后）认识异面直线，有两个维度，一个是不平行，一个是不相交.要认识不平行的话，我们可以去认识平行.同样的道理，要认识不相交，我们也可以从相交开始.同样，要认识空间的几何图形，可以从平面开始.

（1）类比得到平行线的传递性

回顾平面中平行线的传递性；引出平行线的传递性公理（公理4）.

（2）直观把握等角定理

教师A：以上介绍了公理4的简单运用.公理4除了有这样的用处以外，还有怎样的用处呢？（教师明白，可以用公理4来证明等角定理）

回顾二维平面的等角定理；类比得到三维空间等角定理，不予证明.

（3）定义异面直线所成的角

教师A：刚才我们从平行着手，经历了公理4的发现过程和等角定理的发现过程.那还有一个主线是不相交，我们要从相交上去认识.

①回顾：二维平面中直线与直线所成的角.

教师A：在异面直线中，我们是否也可以用一个角来刻画它们的倾斜程度呢？

②三维空间：异面直线所成的角.

③巩固.

动手做，直观看：空间角变成平面角，倾斜程度不变；给出定义，然后动手画异面直线所成的角（引出唯一性问题）.用等角定理，说明所成角的唯一性.

2.教师B概念形成的顺序（教师B概念形成的思路见图2）

图2

（1）平行线的传递性

首先，引导学生说明AA1，BB1，CC1，DD1之间的位置关系（见图3）.得到公理4.

图3

然后，巩固练习如下.

问题1：如图4，E，F，G，H是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的中点，证明四边形EFGH是平行四边形.

图4

问题2：如果BD=AC，四边形EFGH是什么图形？

问题3：AC与BD再附加什么条件，四边形EFGH是正方形？

（2）异面直线所成的角

①感受夹角.在解决问题3的过程中，主观感受AC和BD之间有一个夹角.

②定义.教师B：初中我们怎样定义平面上两条相交直线的夹角的？同样把异面直线移过来，对应到这里有一个角，这个大于0°小于等于90°的角，叫做异面直线AC和BD所成的角.

③作出异面直线所成夹角.

④说明角的唯一性.教师B：所作的角有很多个，我们有没有理论来支持这些角的大小是一样的？

类比平面等角定理，得到空间等角定理.应用等角定理，说明唯一性.

⑤巩固.

3.两位教师概念形成过程的异同

（1）相同之处：概念形成的顺序与逻辑

两位教师大致按照教材的顺序来进行教学：即从公理4，到等角定理，再到异面直线所成角的定义.

大都遵循这样的认知思路：从二维推广到三维，类比平面的公理（平行线的传递性）、定理（等角定理）、定义（所成的角），引出空间的公理、定理、定义；把三维转化到二维，将空间问题转化成平面问题.

大都遵循了概念定义的逻辑：对于定义性概念，要说明概念引入的必要性，要说明概念所言说对象的存在性，要证明概念所言说对象的唯一性.其中，存在性常常是不言自明的.两位教师均类比平面相交直线所成的角，给出了异面直线所成角的概念；然后，在作角的过程中，感受证明唯一性的需求；最后，应用等角定理，证明角的唯一性.对于角的存在性，两位教师均隐性处理.

这表明两位教师对教材的理解、对定义性概念的教学，达到了应有的理论自觉与教学水准.

（2）相异之处：概念的引入、形成

然而仔细分析后，我们发现，两者还是有着较大的区别的.

①概念引入的必要性.

教师A提出“认识异面直线，有两个维度，一个是不平行，一个是不相交”这句话很关键，也很深刻.一方面，以下的学习仍然是对异面直线的深入认识，这是对整个认知的定位.另一方面，指出了认知的思路，即从平行来认知不平行，从相交来认知不相交.这是整个认知的大思路，也是教师的大智慧.这样的认知思路，为引入公理4，为引入异面直线所成的角，做了自然的铺陈与导引.同样，在回顾了平面相交直线所成的角后，教师A讲到，“夹角反映了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.在异面直线中，是否也有类似的问题”.这就从定量的角度，说明了引入所成角的必要性.言简意赅.

相比而言，教师B概念引入的必要性就显得牵强，显得肤浅.说其牵强，是因为他是在解决具体问题时提出异面直线所成的角，该问题涉及异面直线所成的角的大小（见教师B的问题3）.四边形是菱形了，只需一个角是直角，该菱形就成为了正方形，何须转弯抹角，将“菱形的一个角是直角”转换成“异面直线所成的角”.说其肤浅，是因为没有抓住“所成角”的本质——对异面直线的量的刻画.

②概念形成的思路.两位教师均按照“二维推广到三维”与“三维转化成二维”这样一个思路来进行概念认知的.

但是，如上分析所示，教师A展现了其概念形成的大思路.这个大的思路同时将整个认知过程、教学过程串了起来：从平行上来认识不平行，自然地引出了公理4，从平行线传递性的应用中，自然引出了等角定理，这为说明角的存在性（需应用公理4）与唯一性（需应用等角定理），做好了理论储备；从相交来认识不相交，自然引出了平面相交直线所成的角，引出所成角的本质，进而引出了异面直线所成的角.

教师B缺乏这样的思路，概念形成缺乏层次性.其教学过程表明，不清楚为什么要进一步认识异面直线所成的角，不清楚异面直线所成角的本质，不清楚怎样认识异面直线所成的角.从公理4的应用中引出异面直线所成的角很牵强；为了证明所成角的唯一性，而进一步引入等角定理，也显得突兀.

4.教学环节用时分析（两位教师的教学环节用时见表1）

表1

从表1可以看出，两位教师用了大致相同的时间形成异面直线所成角的概念.在练习巩固环节，教师A用时接近整个课时的五分之二.在概念巩固的环节，教师A安排了3个练习：一是认识特殊的角，即异面直线垂直的情形；二是在正方体中，认识容易理解、计算的角；三是在长方体中，求一般情形下异面直线所成的角.而教师B仅仅认识了异面直线垂直的情形.相比教师B，教师A安排的概念巩固任务层次分明，概念巩固时间充分，概念巩固效果良好.

四、结论与建议

（一）研究结论

异面直线所成的角是一个定义性概念，适于按照概念的形成进行教学，教学过程要把握住概念形成的逻辑思路.

对比教师A与教师B的教学，我们发现教师A概念形成的思路更加大气、深刻，概念形成的整个逻辑脉络更加清晰、合理，概念、公理、定理引入的必要性体现得更加自然、顺畅，其对于异面直线所成角的认识更加深刻、本质，对于思想方法的贯彻更加准确、清晰.

教师A对于定义性概念教学的大思路，本质上也是对教材的补充与完善.想一想，教材的思路是清晰的：引入公理4，潜在地说明了异面直线所成角的存在性，同时，为证明等角定理提供了铺垫；类比引入、直观感受等角定理；类比平面引入空间异面直线所成的角；思考说明角的唯一性.但是，要理解这样的思路，要把这个思路转化成学习的路径、教学的设计，还是十分困难的[5].这个思路的中间，还有许许多多需要再加工的内容.

正如讲一个故事，故事的情节、人物已经有了，但是，要把这个故事整体地联接起来，要把这个故事的“起承转合”处理好，还要下许多功夫.虽然，从公理4开始，是对异面直线这个具体概念、模糊概念的深入认识，但是，教材没有交代清楚.当然，按照我们的理解，要对异面直线这个模糊概念有一个深入的认知，就需从两个维度展开：不平行，从而有夹角，即有倾斜程度（所以，认知不平行就从夹角开始，这也许是对教师A教学思路的补充与完善）；不相交，就有距离（事实上，平行线距离的认知，就是这样开始的.这些观点与梁丽平的观点不谋而合[6]）.由于教材中只介绍夹角，而不介绍距离，因而，如何串联起上述内容，需要大的思路、大的智慧.进一步，公理4是引入了，但是由于教材中没有用这个公理证明异面直线所成角的存在性，也没有用这个公理来证明等角定理，因而，这个公理的作用是潜在的.如何理解并处理这个公理的作用，值得思考.

如此看来，在“起”——即引起异面直线所成的角概念，在“承与转”——即公理4的引入与引出，等角定理的引入与引出，公理4、等角定理与所成角的概念的承上启下，在“合”——即与异面直线的距离整合在一起，全面地、定量地认识异面直线的概念内涵，等等方面，教材的处理是有问题的，是模糊的.即教材没有把“异面直线”这个故事写好，教师所需要的剧本存在瑕疵，教师这位导演需要对教材再理解、再编剧，因而，教师要讲好这部分内容就十分困难了.

（二）教材编写建议

长方体是学习空间几何最好的载体.教材在介绍等角定理时也是以长方体为载体的（如图5）.为了说明两个角的两边分别对应平行，除了两角相等外，还有互补的情况，于是找了∠ADC和∠A1B1C1.但是这两个角都是90°，可以说它们互补，但也可以说它们是相等，因此不能以此来说明等角定理.