用拉格朗日函数计算材料非线性桁架的变形*

吴 晓

(湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德 415000)



用拉格朗日函数计算材料非线性桁架的变形*

吴 晓*

(湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德 415000)

利用桁架材料应力与应变的非线性本构关系，得到了外载荷作用下材料非线性静不定桁架应变能函数及余能函数的表达式.引入拉格朗日乘数结合静不定桁架应变能函数、桁架节点静力平衡方程，构造了拉格朗日函数，求得了材料非线性静不定桁架的内力，再采用材料非线性静不定桁架余能函数，即可求出材料非线性静不定桁架的位移.研究结果表明：采用拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架的内力及位移通用性较强，所求的结果是精确解析解.采用拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架的内力及位移方法，不但克服了常规方法需利用几何关系建立协调方程的缺陷，且具有力学概念清晰直观、计算过程简便等优点.

拉格朗日；乘数；材料；非线性；静不定；桁架；内力；位移

外载荷作用下静不定桁架的内力及位移的求解是一个复杂的问题，需要补充变形协调方程，而补充变形协调方程要依靠桁架变形时的几何关系.为了克服建立变形协调方程的困难，[1-2]采用有限元法研究了不同模量桁架的求解问题，[3]采用余弦函数法研究了一般杆系结构节点位移的计算，[4]采用位移法求得了外载荷作用下多杆汇交问题的通解，认为避免了需列出几何关系求解的困难，但事实上[4]还是利用杆件变形的几何关系补充变形协调方程进行计算.[5]采用矢量分析法研究了节点位移的计算，[6]采用速度投影法研究了静定和静不定杆系结构中节点位移的计算，[7]采用纯数学运算研究了超静定桁架中建立变形几何方程的解析法，[8-9]采用微分解析法研究了超静定桁架变形协调方程,[10，12]研究梁、桁架变形时都涉及了结构的材料非线性问题.本文采用拉格朗日函数研究了材料非线性静不定桁架内力和位移的求解，真正意义上克服了依赖杆件变形几何关系求解材料非线性静不定桁架内力和位移的困难.

1 桁架应变能及余能的表达式

为了使本文的研究具有一般性，参阅[10-12]可令材料非线性静不定桁架的应力-应变表达式为

(1)

材料非线性静不定桁架第i个杆件在拉压力Ni作用下的应变、应力表达式为

(2)

(3)

把式(1)、式(2)代入式(3)中积分可得

(4)

由式(4)可得桁架第i个杆件的应变能、余能分别为

(5)

式中，li为桁架第i个杆件的杆长.

再由式(5)可得材料非线性静不定桁架的应变能、余能分别为

(6)

采用式(6)应变能表达式构造拉格朗日函数要注意：由于求材料非线性静不定桁架杆件拉压力时应变ε对杆件拉伸和压缩状态均取绝对值，且桁架计算一般假定材料非线性静不定桁架杆件内力全部为拉力，因此采用应变能表达式求杆件拉压力时Ni也要取绝对值，否则求出来的杆件拉压力有可能是复数.使用式(6)余能表达式计算材料非线性静不定桁架位移时，不能把杆件拉压力取绝对值，应直接代入杆件拉压力Ni的真实值.

2 拉格朗日乘数法的证明

利用静不定桁架变形应变能函数及桁架节点处平衡方程或桁架结构的静力平衡方程，可构造如下拉格朗日函数

(7)

将式(7)对自变量求一阶导数可得

(8)

式中，i=1,2,…,m; j=1,2,…,k.

(9)

由拉格朗日函数式(7)及平衡方程式(8)，可知始终有下式成立

V(x1,x2,…,xm;λ1,λ2,…,λk)=U(x1,x2,…,xm),

(10)

所以，由式(9)、式(10)可知恒有下式成立

(11)

(12)

由式(10)、式(12)可知恒有下式成立

(13)

由以上充分性及必要性的证明可知，采用拉格朗日乘数法求解任意有限多个自变量多元函数在任意有限多个约束条件下的极小值问题是成立的.

3 桁架内力及位移的求解

例1 对于图1所示m个杆件构成的材料非线性静不定桁架，令桁架各杆截面积相同，以下算例类同.假定该材料非线性静不定桁架的杆件内力全部为拉力，可得桁架节点平衡方程为

(14)

可构造拉格朗日函数为

(15)

(16)

将式(16)代入式(15)中求得λ1、λ2，再利用式(16)即可求得图1所示材料非线性静不定桁架各杆件的拉压内力.

由图2可得桁架节点D点的平衡方程为

N1sinθ1+N2sinθ2+N3sinθ3=P,N1cosθ1+N2cosθ2+N3cosθ3=0.

(17)

由式(17)可以得到

(18)

由图2及式(18)可判断图2所示材料非线性静不定桁架杆件皆为拉力，利用式(15)、式(16)可以得到

(19)

(20)

由式(19)、式(20)可以求得

(21)

在式(21)中令n=1、n=2时的结果与文献[12]中的结果是完全一致的.

将式(21)代入式(6)中可得图2所示材料非线性静不定桁架的余能表达式为

(22)

利用式(22)把余能U*函数对外力P求一阶偏导数即可得到图2所示材料非线性静不定桁架节点D的水平位移为

(23)

在式(23)中令n=1时的结果与文献[12]中的结果是完全一致的.

利用桁架各节点的平衡方程, 可得桁架各杆件内力为

(24)

对式(24)进行分析可知N6为拉力、N5为压力，显然N1、N2为压力，N3、N4为拉力.

可构造拉格朗日函数为

(25)

将式(25)对材料非线性静不定桁架杆件的内力N5、N6求一阶导数且令一阶导数等于零可得

(26)

(27)

此结果与文献[10]的结果是一致的.

将式(27)代入式(6)中可得图3所示材料非线性静不定桁架的余能表达式为

(28)

利用式(28)将余能函数U*对外力P求一阶偏导数即可得到图3所示材料非线性静不定桁架节点C的水平位移为

(29)

由式(29)可知，当n为奇数时,图3所示材料非线性静不定桁架节点C的水平位移不为零；当n为偶数时，图3所示材料非线性静不定桁架节点C的水平位移等于零.

对算例计算进行分析可知：例1、例2材料非线性静不定桁架各杆件内力不能用桁架支座反力全部表示出来, 计算材料非线性静不定桁架各杆件内力和位移, 仅能利用支座节点除外的桁架其他各节点处静力平衡方程来构造拉格朗日函数.

从以上算例计算结果可以看出, 本文所得计算结果精度很高, 因为构造拉格朗日函数求解静不定桁架内力和位移得到的结果是精确解析解.构造拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架内力和位移的方法通用性较强, 不但可以克服常规方法需利用几何关系建立协调方程的缺陷, 还具有力学概念清晰直观、计算过程简洁、便于工程设计人员在实际中掌握和应用的优点.

将本文采用拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架内力和位移的方法与[1-2]的方法进行比较可知, 本文方法比[1-2]利用有限元法求解不同模量静不定桁架内力的数值方法更为简便，且求得结果是精确解析解，可以检验其他方法的计算精度.

[3-4]利用位移法研究了超静定桁架变形协调方程,[5-6]本质上都是利用矢量分析法研究超静定桁架变形协调方程,[7-9]采用微分研究了超静定桁架变形协调方程, 以上方法全部依赖于建立变形协调方程求解静不定桁架内力.本文采用拉格朗日函数求解静不定桁架内力和位移的方法有固定规律可循,真正意义上克服了依赖桁架杆件变形几何关系求解材料非线性静不定桁架内力和位移的困难.

4 结 论

(1) 对采用拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架内力和位移的问题进行了数学证明.

(2) 求解材料非线性静不定桁架内力和位移, 可利用支座节点除外的桁架其他各节点处静力平衡方程来构造拉格朗日函数.

(3) 通过求解材料非线性静不定桁架内力和位移的算例表明, 采用拉格朗日函数求解材料非线性静不定桁架内力和位移的通用性较强, 不但可以克服常规方法需利用几何关系建立协调方程的缺陷, 而且还具有力学概念清晰直观、计算过程简洁、便于工程设计人员在实际中掌握和计算的优点.

(4) 采用应变能表达式构造拉格朗日函数要注意，由于求材料非线性静不定桁架杆件拉压力时，应变ε对杆件拉伸和压缩状态取绝对值，因此求杆件拉压力Ni时也应该取绝对值，否则求出来的杆件拉压力有可能是复数.使用余能表达式计算材料非线性静不定桁架位移时，不能把杆件拉压力取绝对值，应直接带入杆件拉压力的真实值.

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责任编辑：罗 联

Study on the Deformation of Truss with Material Nonlinearity by Lagrange Multiplier Rule

WUXiao*

(College of Mechanical Engineering, University of Arts and Science, Changde 415000 China)

Using the nonlinear constitutive relation between stress and strain of truss material, the strain energy function and the complementary energy function of statically indeterminate truss with material nonlinearity under external load are obtained. Lagrange function is constructed by combining Lagrange multiplier with the strain energy function of statically indeterminate truss and the static equilibrium equations of truss nodes, and the internal force of statically indeterminate truss with material nonlinearity is obtained. Then based on the complementary energy function expression of statically indeterminate truss with material nonlinearity, its displacement is found out. The result shows that the above method of solving the internal force and displacement of statically indeterminate truss with material nonlinearity is universal and the obtained solutions are accurate analytical ones. This method not only overcomes the defects of conventional methods to establish the coordination equations by using the geometric relationships, and has clear and intuitive the mechanics concept, and the simple calculation process.

Lagrange; multiplier; materials; nonlinear; statically indeterminate; truss; internal force; displacement

2015-12-10

湖南省科技计划项目(2011SK3145)；湖南“十二五”重点建设学科项目(湘教发[2011]76号)；湖南省自然科学基金项目(2015JJ6073)

吴晓(1965-)，男，湖南 常德人，教授. E-mail:wx2005220@163. com

O342

A

1000-5900(2016)03-0017-06