提高试题难度的一种命题方法：换元

福建省泉州市第五中学

杨苍洲 (邮编：362000)



提高试题难度的一种命题方法：换元

福建省泉州市第五中学

杨苍洲 (邮编：362000)

在高中数学的命题工作中，选择、填空等题型的压轴试题的命制常常让命题者感到头疼．

如何才能迅速地命制出高质量的压轴试题呢?

笔者通过对一些高考压轴试题的研究，从中发现了一种命题方法——“换元法”．此种方法能有效地对试题进行包装，并快速提高试题的难度，是一种简单、高效的命题方法．

下面我们从命题的角度一起分析几道试题的命题思路，分享这种简单的命题方式．

命题思路探究

第一步：选定以三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα为背景命题．

本题通过换元，进行巧妙的包装，隐去问题原本“三角函数”的真面目，得到一个新问题——含参数的三次函数恒成立问题．问题的解决必须以导数为工具进行求解，具有一定综合性，难度较大，适合于作为试题的压轴试题．

案例2 (2013年高考全国1卷改编)已知函数f(x)=(x2+x)(x2+ax+b),若对∀x∈R,有f(x)=f(2-x),则f(x)的最小值为( )

命题思路探究

第四步：以函数y3的对称性为条件，设置参数，命成此题．

本题难度较大，是高考的压轴试题．问题的起点却是我们熟知的二次函数最值问题，经过命题者的巧妙构思、包装，隐去问题的本来面目，从而加大试题难度，提高试题的考查价值．

命题思路探究

第二步：研究函数y=lnx与y=x-t的交点个数．可知，当t>1时，两个函数有两个交点．即方程lnx=x-t有两个实根．

本题貌似繁杂，实际上却是从重要不等式“lnx≤x-1”衍生而来．通过一步步的换元变换、化简运算、恒等变形，最终成题．在每一次变形中，都在不断地提高试题的难度、综合度，从而使得最终的问题具有较高的区分度．

体验了上述三道试题的命题心路历程，你应该也会赞叹“换元法”的神奇．“换元法”的确是一种高效的命题方法，你值得拥有！

2016-09-18)