旧题赋新意 老树开新花

安徽省合肥市第四十八中学

史承灼 魏大付 (邮编：230061)



复习考试

旧题赋新意 老树开新花

安徽省合肥市第四十八中学

史承灼 魏大付 (邮编：230061)

2016年安徽中考数学压轴的第23题似曾相识，又推陈出新, 立意新颖，引起广泛关注.下面试对该题进行探源、探析.

1 原题呈现

图1

图2

图3

如图1，A、B分别在射线OM、ON上，且∠MON为钝角.现以线段OA、OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP、△OBQ，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.

(1)求证：△PCE≌△EDQ；

(2)延长PC、QD交于点R.

①如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；

2 试题探源

此题源于两道姊妹题.

图4

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图5

(2016年安徽“合肥十校”联考数学模拟(一)第23题)如图5，在钝角△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和ACF，M、N分别为AB、AC的中点，连接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求证：

(1)△EMD≌△DNF；

(2)△EMD∽△EAF；

(3)DE⊥DF．

这两题都是以钝角三角形的边为斜边向形外侧作等腰直角三角形，考查等腰直角三角形的性质(两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径)和应用、三角形中位线定理的应用、全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质的应用等.

3 试题剖析

2016年安徽中考第23题，在钝角的边上截取两条线段(依然钝角三角形)，以两条线段为斜边向角的外部作等腰直角三角形，将两个等腰直角三角形斜边上的中线延长，建构新图形，由相似三角形出发探究角的度数和线段的比值，给问题的求解增添了难度，焕发“旧题赋新意，老树开新花”的效果.

第(1)问，根据点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点，可得DE、CE是△AOB的中位线.根据三角形中位线的性质得到DEOC,CEOD,推出四边形ODEC为平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE.由△OAP与△OBQ都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义易得，由全等三角形的判定方法即可证明△PCE≌△EDQ.

显然，有效的解题不能单纯地依靠模仿和记忆，而是应该通过观察、猜想、验证推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和掌握.使知识内化，方法获得迁移，能力得以提升，因此，教学中锤炼解题思想方法，积累解题经验尤为重要.

图6

第(2)问①如图6，连接RO，根据PR与QR分别为线段OA与OB的垂直平分线，得到AR=OR=BR,由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四边形OCRD中，由∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°，可得∠CRD=30°，进而得∠ARB=60°.由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得△ABR为等边三角形.

通过分析，不难发现该题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定、“三线合一”性质、线段垂直平分线的判定及性质、四边形内角和及等边三角形的判定(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)、相似三角形的判定及性质等.图中线多干扰视角，影响思考.全等条件(特别是角)隐藏图中，需认真观察、仔细分析、多方探寻.无线段长度，求线段比值等令人心发慌.可熟悉的题型与图形又给人“似曾相识燕归来”之感.此情此景又会让人“有法可想、有口可入、有路可走”乃至“有利可图”，只要有所思、有所想、有所悟，各种思维、思想、方法和灵感便会引爆，进而解决问题.

4 试题引发的思考

鉴于上述剖析，可以看出面对这种难题，靠考场上的灵机一动，计上心来，或靠总复习时的突击就想解决，显然不太靠谱.立足数学核心概念，关注基础知识和基本技能；强调数学思维，关注数学学习过程；基于试题研究，积累解题经验是解决这些难题比较好的策略.

4.1 立足数学核心概念，关注基础知识和基本技能

数学核心概念是数学知识结构中的“联结点”，也是“生成”其他数学知识的基础.立足数学核心概念，把握数学问题本质，是理解数学知识，解决数学问题的关键.针对“图形与几何”学习内容,考查学生基础知识和基本技能的达成情况，主要是借助基本图形：三角形、四边形和圆，考查学生对重要几何基本事实的理解和运用，考查图形的性质及图形变化，考查学生在具体情境中合理应用图形的性质及判定解决问题的能力.因此,首先，强调基础知识落实.以教材为载体，以几何概念的内涵和外延为重点，理解概念所蕴含的数学思想方法，避免死记硬背概念，避免片面追求“偏题、难题、怪题”.关注教材中的例题、习题的落实，力求大多数能坚持正常数学学习的学生达到基本要求.其次，帮助学生构建“核心概念”之间结构体系，形成知识网络，通过变式训练，提炼基本图形等促使学生掌握应用图形性质及判定解题的基本技能，提升解决数学问题的水平.

4.2 强调数学思维，关注数学学习过程

有的同学做题又快又准，有的同学总能用最简单的方式来解题，有的同学总出现这样那样的问题，比如，时间不够用、考场上卡壳以及会做的题得不了满分……. 显然“思维”决定着考试的节奏和成绩. 何为思维呢？思维就是指人脑利用已有的知识对记忆的信息进行分析、计算、比较、判断、推理、决策的动态活动过程.它是获取知识及运用知识求解问题的根本途径.数学思维就是数学基础知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识之中，是数学知识的精髓.

由此我们得到：在复杂问题的解决时，要善于在众多条件和信息中有方向性的选择有用信息，形成新的判断和认识.不时地提出问题，甚至是假设或猜想，明确问题所在，由问题引导思考，进而解决问题，让学生经历“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动过程，优化思维品质，这对提升解题能力是十分有价值的.

4.3 基于试题研究，积累解题经验

中考试题通常是以教材例习题或其他省的中考题为“背景”，经过命题专家的巧妙构思编拟而成的，它们源于教材，又高于教材；源于原有考题，又高于原有考题.这就启发我们在教学中，要充分发挥教师的教学智慧，遴选教材中内涵丰富的典型例习题或其他省的典型中考试题，由浅入深，由此及彼，引导学生努力探索问题的衍生点，从题设、结论图形结构等方面多角度探究与联想，变式与拓展，挖掘内在的教学价值，发挥其辐射功能，创造性地使用教材，巧妙的引入中考题，开发丰富有效的课程资源，引导学生进行探究性学习，让学生感受知识的生成和发展的过程，在例习题及中考题的探究中洞察问题本质，在理解的基础上寻找知识的“生长点”，思考、归纳，从复杂图形中剥离出基本数学模型(基本图形)，激活数学思维，通过解题与联想把蕴含其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含问题的本质属性.有效促进解题过程的思维定势正向迁移，化生为熟、化非常规题为标准题，为探索和发现基本模型积累数学活动经验.

著名数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题如同蘑菇，它们都能成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”平时，要善于寻找波利亚所说的“蘑菇群”，积累解题经验，努力实现“做一题”、“会一类”、“通一片”.

1 范宏业.透视中考压轴题 反思学习与复习[J] .中学数学研究，2014(12)：45-48

2 王锋.积累解题经验 提升创新能力[J].中国数学教育，2013(10)：30-33

3 刘金英，张义民，王立明.中考数学试题分类解析(二)[J].中国数学教育，2011(1-2)：46-57

4 庄士忠.相似三角形中三等角题型一般解答方法及应用[J].中学数学杂志，2012(4)：37-39

2016-08-26)