利用导数解决函数零点问题探秘

张汝波

导数方法不是解决零点问题的唯一方法，也不一定是最简单的方法，但在很多时候是一种较为通用的方法，而在近几年各省的高考题中零点问题出现的频率非常高，形式也逐渐多样化，非常有必要来重视它.

一、已知区间上有零点，求参数的取值范围

例1 已知函数f（x）=ex-ax?-bx1，其中a，b∈R.

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[O，1]上的最小值；

（2）若f（1）一0，函数f（x）在区间（O，1）内有零点，求a的取值范围.

解 （1）略.

（2）由题设f（1）→e-a-b-1=0→b=e-a-l，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（O，1）内至少有三个单调区间.

（1）当a≤1/2或a≥e/2时，由（1）知，函数g（x）即f'（x）在区间[O，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.e），求导可知h（x）在区间（1，√e）上单调递增，在区间√e，e）上单调递减.故hmax（x）=h（√e）=√e-e-l<0，即f'min（x）

于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间

综上，a的取值范围为（e-2，1）.

方法感悟 本题是已知区间上有零点，求字母参数的范围问题.由于含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：一是根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；另一方面，也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.

二、已知参数的取值范围，讨论

零点个数的情况

例2 （2013年江苏第20题节选）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数，若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 因为g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，所以g'（x）≥0对x∈（-1，+∞）恒成立，即a≤ex对x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤e-l.

（i）当a=0时，由f（1）=0以及f'（x）=l/x>o，得f（x）存在唯一的零点；

（ii）当a<0时，由于f（ea）=a-aea=a（l-ea）<0，f（1）=-a>0，且函数f（x）在[ea，1]上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点.

另外，当x>o时，f'（x）=1/x-a>o，故f（x）在（o，+∞）上是单调增函数，所以f （x）只有一个零点.

（iii）当oo，当x>a-l时，f'（x）<0，所以，x=a-l是f（x）的最大值点，且最大值为f（a-1）=-lna-1

①当-Ina-l=O，即a=e-l时，f（x）有一个零点x=e.

②当-Ina-l>O，即O

实际上，对于Oo，且函数f（x）在[e-1，a-l]上的图象不间断，所以f（x）在（e-l，a-l）上存在零点，

另外，当x∈（o，a-1）时，f'（x）=1/x-a>O，故f（x）在（0，a-l）上是单调增函数，所以f（x）在（0，a-1）上只有一个零点.

另可证f（x）在（a-l，+∞）上只有一个零点.

综合（i），（ii），（iii），当a≤O或a=e-1时，f（x）的零点个数为1；当O

方法感悟 对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法也有两个：一是分离参数，得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况.另一办法是构造新函数，求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性，

三、已知存在零点，证明零点的性质

例3 （2014天津第20题节选）已知函数f（x）=x-aex（a∈R），x∈R，函数y=f（x）有两个零点xl，x2，且x1

（I）求a的取值范围；

（Ⅱ）证明：随着（z的减小而增大.

解 （I）a的取值范围是（0，e-l），解答略.

（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae=o，有a=在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.并且，当x∈（-∞，0]时，g（x）≤o；当x∈（O，+∞）时，g（x）>0.

由已知，x1，x2满足a=g（x1），a=g（x2），由a∈（0，e-1），及g（x）的单调性，可得x1∈（O，l），x2∈（1，+∞）.

对于任意的a1，a2∈（O，e-l），设a1>a2，g（ξ1）=g（ξ2）=a1，其中o<ξ1<1<ξ2；g（η1）=g（η2）=a2，其中0<η1<1<η2.

因为g（x）在（O，1）上单调递增，故由a1>a2，即g（ξ1》g（η1），可得ξ1﹥η1

类似可得ξ2<η2又由ξ1，η1>o，得所以，随着a的减小而增大.

方法感悟 已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

总而言之，高考题中利用导数解决函数零点的问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性、极值义与其导函数的零点有着紧密的联系，可以说函数零点的判断，导函数零点的判断，或者数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题.