构造法解函数不等式

余建国

什么是函数不等式？先看一个问题.

例1 已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f'（x）>x1，则不等式f（x）<1/2x? -x+1的解集为_______________.

我们并不知道问题中的函数f（x）的解析式，只知道它满足两个条件：①f（2）=1，②导函数.f'（x）>x-l，求解不等式f（x）<1/2x?-x+1.这样的问题称为“求解函数不等式”.注意到（1/2x?-x+1）'=x-1，构造函数g（x）=f（x）-（1/2x?-x+1），本质就是解不等式g（x）<0.

g'（x）=f'（x） -x+1.由条件②知，g'（x）>o，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数.又由条件①，知g（2）=f（2）-1/2×4+2-1=0，故由g（x）

由此可见，解此类函数不等式的步骤是：

Sl结合题设中的导数条件和所要求解的函数不等式，构造一个新函数；

S2确定新函数的导数符号，以确定新函数的单调性；

S3利用新函数的单调性及图象中的特殊点，得到函数不等式的解集.

例2 函数f（x）的定义域是R，f（o）=2，对任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex+1的解集为__________.

解析记函数g（x）=ex·f（x）-ex1，则g'（x）=ex（f（x）+f'（x）-1）.

因为对任意x∈R，f（x）+'（x）>1，所以g '（x）>0恒成立，所以g（x）在（-∞，+∞）上为增函数，因为g（0）=f（o）-11=0，所以不等式ex·f（x）>ex+1，即g（x）>g（0）的解集是x>o，所以不等式e·f（x）>ex+1的解集为（o，+∞）.

评析最简单的构造函数方法是“g（x）一左边-右边”，这样目标就是解不等式g（x）>o.

例3 已知f（x），g（x）（g，（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'（x）g（x）

解析

当x<0时，由题设得h'（x）

由f（-3） =0，得h（-3）=-h（3）=0.

由h（x）3.

不等式的解集为（-3，0）∪（3，+∞）.

评析对照导数条件f'（x）g（x）

例4 己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）

解析因为f（x+2）为偶函数，所以f（x+2）的图象关于直线x=o对称，所以f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（0）=f（4）=1.

因为f'（x）

因为

不等式f（x）

评析导数条件“f'（x）

例5 已知函数y=f（x）对于任意的x满足f'（x）cosx+f（x）sinx>0（其中'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不一定成立的是

（）

解析 设故B正确.A，C同理.故选D.

评析导数条件中的“+”未必是两个函数的积的导数，本题中，（cosx）'=-slnx，所以，我们仍然是构造商函数.

例6 已知函数f（x）满足x>o时，有则下列结论一定成立的是

（）

解析 由f'（x）=2X?，得f（x）=2/3x?+C.

当x>o时，由f'（x）=2x?>得

评析关键是确定常数C的取值范围.导数条件f'（x）>变形为xf'（x）-f（x）>o，这样就能联想到构造什么样的新函数了.

小结联系已知导数条件和要求解的函数不等式，构造辅助函数是求解这类问题的常用方法.构造方法无非是两个函数的和、差、积和商，通过研究辅助函数的单调性、奇偶性等性质得到函数不等式的解.特别注意函数ex、Inx，前者的导数永远不变，后者的导数变成多项式，弄清楚它们的结构特点，有助于我们联想得更快、更准.