锐角还是钝角

江荣芬

求二面角的平面角是立体几何学习中的重点，也是高考的热点之一.解题时可以先求两个平面的法向量所成的角，由于一个平面的法向量不唯一，长度不等且有两个方向，二面角的平面角范围是O≤θ≤π.二面角的大小与其两个面的法向量所成的角是“相等”还是“互补”成为难点和关键，本文拟给出一个简单的判断方法.

先来分析一下二面角与两法向量nl，n2所成角的关系，以便突破上述难点：

已知二面角a-ι-β，在二面角内任取一点P，过点P作PA⊥a，PB⊥β，垂足分别为A，B，则ι⊥上平面PAB，设ι∩平面PAB于点0，连结OA，OB，则OA上⊥ι，OB⊥ι，记∠AOB=θ，所以θ为二面角a-ι-β的平面角.平面a的一个法向量n1，平面β的一个法向量为n2，将这两法向量的起点均移至点P，当两法向量同时指向平面或者同时远离平面（如图1，图2），则二面角的平面角θ与两法向量n1，n2所成的角互补，即θ=π-，概括为“同向互补”；

将这两法向量的起点均移至点P，当两法向量一个指向平面，另一个远离平面（如图3，图4），则二面角的平面角θ与两法向量nl，n 2所成的角相等，即θ=，概括为“异向相同”.

理清了概念，我们再来看两道例题：

例1 （2014全国卷）如图5，三棱柱ABC-A1BlC1中，侧面BBlC1C为菱形，AB⊥B1C.

（1）证明：AC=AB1；

（2）若AC上AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值，

解析 （1）略.（2）因为AC⊥AB1，O为B1C的中点，所以AO=CO.又因为AB=BC，所以△BOA≌△BOC，所以OA⊥OB，

点评 二面角的平面角求法：第一步分别求出两个平面的法向量；第二步计算这两法向量所成的角的余弦值；第三步借助具体的图形判断二面角的平面角与两法向量所成的角是相等还是互补关系，然后得出结论，这一步始终困扰着大家.先将向量n1=（1，√3，√3）起点放在坐标系原点O，观察向量nl的方向，再将其起点移至二面角A-A1Bl-C1内的任意一点，判断得向量n1指向平面AB1A1，按同样的方法判断得向量n2远离平面A1B1C1，故二面角A-A1Bl-Cl的平面角与两法向量n1，n2所成的角相等.

例2 （2014重庆卷改编）如图7，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=π/3，M为BC上一点、，且BM=1/2，MP⊥AP.

（1）求PO的长；

（2）求二面角A-PM -C的余弦值.

解析 连结AC，BD，OM，因为四边形ABCD是以O为中心的菱形，则AC∩BD=O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，为正交基底，建立如图7所示的空间直

点评 将向量起点放在坐标系原点O（原点O也为二面角A-PM-C内的一点）观察向量n1的方向，判断得向量nl指向平面AMP，按同样的方法判断得向量n2也指向平面PMC，故二面角A-PM-C的平面角与两法向量n1，n2所成的角互补.