几个重要不等式的应用

刘书海

【摘要】不等式是高中数学学习中的难点，它运用灵活，以技巧而不是运算能力取胜，笔者从历届高中数学竞赛中精选了部分例题，用自己独特的方法从不同的角度诠释了它们。

【关键词】不等式  最大值  最小值

【中图分类号】G633.6                          【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）11-0107-03

基本公式：一般不等式： （时取等号）.

推广式：

（时取等号）.

再拓展，有：

（时取等号）

不等式的证明方法主要有比较法、综合法、分析法 、缩放法、反证法、数学归纳法，每一种方法在高中数学中都有其独特的作用和地位，有时甚至作为压轴题而直接决定成绩的优劣，在数学竞赛中常常都可以见到它的身影.下面就综合法和分析法聊举几例，并结合其中需要注意的问题尤其是等号能否取到展开介绍.

例1. 若 ，求的最小值（2010年希望杯

数学邀请赛试题（高一）第二试（第Ⅰ类）第18题）

分析：如果直接采用的话，一方面不符合的

形式，另外等号无法取到，考虑到，变形得，将4

变为，9变为，变形后利用可得到结果.

解：

=

当  ，即，即，即时取等号.

∴的最小值为.

注意：此题千万不可将 往式中代，否则将进入一个复杂且无效的计算中.

例2. 若 ，并且，求的最大值（2009年希望杯数学邀请赛试题（高二）第二试第12题）

分析：观察到 ，考虑用公式.

解：

∴的最大值为64，时取等号.

拓展：将题目改为求 的最大值.

解：

∴时，取最大值

推广：

解：

.

例3.已知 （2010年

希望杯数学邀请赛试题（高二）第二试第16题）

分析：观察到2在代数式中的位置造成次数不齐，可将 代入式中与 都为2次，化简后再利用重要不等式可获得结果.

解：

原式

例4.已知 （2008年第四届“希望杯”全国数学大赛试题（高二）初赛第8题）

分析：求 的取值范围，只要求出的最大值和最小值即可.利用立方和公式和重要不等式得到关于（）的不等式，解之即可.

解：

例5.

求证： （2008年第

四届“希望杯”全国数学大赛试题（高二）决赛第15题）

分析：直接证明不等式有些困难，考虑利用不等式

通过中间量将两边联系起来.

解：

联系以上，可得：

时取等号.

例6.已知三角形的边长分别为

求证： （2009年第五届“希望杯”

全国数学大赛试题（高二）决赛第13题）

分析：对于不等式的左半部分，考虑到

，可运用重要不

等式的变形，，至于右半部

分可有等得到.

证明：对不等式的左半部分：

对不等式的右半部分：

例7.半径为1的圆内接三角形的面积是 ，三角形的三边是

求证： （2010年第六届“希望杯”全

国数学大赛试题（高二）初赛第13题）

分析：由已知条件可知，然后可令可去根号，最后巧妙变形并使用重要不等式即可获得结果.

证明：

①+②+③得，

即 时取等号）.

例8.设正实数

求证： （2010年第六届中国北方数

學奥林匹克邀请赛第二天第五题）

分析：由重要不等式易知：

证明：

上式显然成立.

不等式证明的方法多种多样，不同的题目有不同的解法，就是同一道题目也有不同的解法，不能一概而论。切忌照猫画虎，应当灵活运用，具体情况具体分析，以上例子也属个人见解，希望大家能有更好的方法，还请不吝赐教。

参考文献：

[1]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2010详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2009.4.

[2]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2012详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2011.7.

[3]南秀全，高中数学奥林匹克竞赛2014详解版（全国联赛卷），武汉：湖北教育出版社，2013.2.