积分中值定理中间值的渐进性

张盈 温利平 李音

摘要：在积分中值定理中，只确定了中间点的存在性，却没给出中间点在区间内的位置。通过讨论当区间长度趋近于零时，定理所确定的中间点在区间上的渐进性，得到一些相应的结论，并对其中一些结论进行证明。

关键词：中值定理；中间值；渐进性

中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：16723198（2015）26023402

积分第一中值定理：若函数f（x）在闭区间a，b上连续，则至少存在一点ξ∈a，b，使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）。

积分第二中值定理：如果函数f（x），g（x）在闭区间a，b上连续，且g（x）在a，b上不变号，则至少存在一点ξ∈a，b，使得

∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx。

在上述积分中值定理中，一般来说，不能断定中间值ξ就是区间a，b的中点，但当f′（a）存在且f′（a）≠0时，则有如下结果：

定理1：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0。若

∫xaf（t）dt=f（ξ）（x-a），ξ∈（a，x）

则有limx→aξ-ax-a=12。

证明：考虑函数h（x）=∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2，

利用积分第一中值定理得

limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2

=limx→af（ξ）（x-a）-f（a）（x-a）（x-a）2

=limx→af（ξ）-f（a）x-a=limx→af（ξ）-f（a）ξ-aξ-ax-a

=f′（a）limx→aξ-ax-a，

另一方面，應用LHospital法则又有

limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2

=limx→af（x）-f（a）2（x-a）=12f′（a）

比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。

定理2：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0，g（t）∈Ca，x且不变号，g（a）≠0。若

∫xaf（t）g（t）dt=f（ξ）∫xag（t）dt，ξ∈（a，x）

则有

limx→aξ-ax-a=12

证明：考虑函数

h（x）=∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2，

利用积分第二中值定理得

limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2

=limx→af（ξ）-f（a）∫xag（t）dt

=limx→af（ξ）-f（a）ξ-ax-a∫xag（t）dtξ-ax-a=f′（a）g（a）limx→aξ-ax-a

另一方面，应用柯西微分中值定理又有

limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2

=limx→af（x）g（x）-f（a）g（x）2g（x）∫xag（t）dt

=limx→af（x）-f（a）x-ax-a2∫xag（t）dt=f′（a）2g（a）

比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。

上述定理还可以进一步推广得

定理3：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a二阶可导且f′（a）=0，f″（a）≠0。若

∫xaf（t）dt=f（ξ）（x-a），ξ∈（a，x）

则有limx→aξ-ax-a=13。

类似的结果也可以用在微分中值定理中间值的情况。

参考文献

[1]陈纪修等.数学分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.5

[3]林渠源.数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社，2003.

[4]裘兆泰等.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004.