微分中值定理中间点的性质研究

陈开宇

摘 要：本文研究了拉格朗日中值定理与柯西中值定理的中间点的性质，根据辅助函数的构造来完成对中间点性质的证明，得到了该中值定理中间点存在的一些性质。

关键词：微分中值；中间点；渐进性

微积分中值定理作为高等数学十分重要的定理之一，在整个高数中占据着重要的地位。关于微分中值定理中间点的研究中，其渐进性性质成为当前研究的重点与难点，许多学者都进行了相关性质的分析与探讨。关于微分中值定理渐进性的研究中，利用中值定理提出针对不同函数的中值定理特性的分析方法，并取得了一定的研究成果。本文以高阶微分函数为研究对象，对该函数进行中间点的性质进行分析，并推导出相应的结论。

一、预备知识

在微分中值定理中，最为基本的是拉格朗日中值定理，该定理具有很强的代表性，因此对于N阶拉格朗日中值定理来讲，满足以下条件：

对于f(x)来讲，其连续的区间为[a,b]，在该开区间内，该函数是存在K阶可微的，则对于任意的λ，满足公式（1）表达式：

■(-1)KC1Kf(b-■)=f(K)(λ)(■)K……（1）

同时对于g(x)来讲，定义其不为零，且在上述开区间内是可导的，函数导数g（1）（x），g（2）（x），g（3）（x），…，g（n）（x）都是连续的，对于任意的λ，满足公式（2）表达式：

■=■……（2）

同时，在上述的基础上，对于拉格朗日中值定理还存在以下引理：

引理1：■(-1)KCKn(n-K)n=n!

引理2：■(-1)KCKn(n-K)n+1=■(n+1)!

引理3：■(-1)KCKn(n-K)n+2=■(3n+1)(n+2)

二、微分中值定理中间点的渐进性性质分析

定理：假设f（t）与g（t）在区间[a,x]上是连续函数，保证f（x）在其开区间内存在n+1次导函数，而g（x）则为n次导函数，对g（x）来讲其每一阶导数值都不等于零。在此条件下，如果满足f1（a）=f2（a）=……fn（a）=0，而fn+1（a）≠0，假设F（t）=fn（t）/gn（t）,则满足的结果是F1（a）=F2（a）=……Fn-1（a）=0，使得F（t）在a点处是连续的函数，在此条件下n阶的柯西定理中间点满足的条件是：

■■=■

其中Bn+1满足的条件是：Bn+1=■(-1)KCKn(n-K)n+1

证明：构造辅助函数U（x）=

■

对于上述的f（x）与g（x）来讲，分别采用n阶的拉格朗日中值定理与柯西中值定理，经过计算得到如下：

U（x）=■

=■=■

上述式子中的参数ζ与η都是在本文定义的区间内。然后在a点处，通过泰勒展开公式进行U（x）与F（x）的分解，得到如下：

F（ζ）=F(a)+1/l!F(1)(ζ1)(ζ1-a)，其中ζ1也是在上述范围之内。

U(x)=n!/l!F(1)(ζ1)g(n)(η)(ζ-a)/(x-a),

■U(x)=1/l!F(1)(a)g(n)(a)■■

然后在上述的条件下，利用罗比塔法则进行应用与计算后，得到如下式子：

■U(x)=■{■}

=■{■}

=■{■}

=■{■}

对于F（1）(ζ2)来讲可以利用泰勒展开式进行缩减，带入后得到：

F(x-k/(x-a))=■(-1)KCKn(n-k)n+1F(1)(a)g(n)(a)x（1）/(n+l)!

通过上述式子的比对分析可以得到本文所需要证明的上述定理。

推论1：假设f（m）在区间[a,m]上是连续的，且开区间内是n阶可导的，对于处于a点处的n阶导数都是零，n+1导数不为零的条件下，对于拉格朗日中值定理中间点ζ满足以下结论：

■■=1/2

推论2：假设f(x)满足条件保证函数在规定的区间[a，b]内连续，其在K+2阶下是可微函数，且导函数不为零，在此条件下对于任意的ζ来讲，其K阶的朗格朗日中值点满足一下性质：

l■■=1/2(■)

该推论没有上述推论的关于该n阶导数在a点处的每一个导数值相等都等于零的条件，条件比较宽泛。

总之，微分中值定理在高等数学的计算与应用过程中占据着重要的地位。为了研究微分中值定理的中间点的渐进性，为了更好地对定理进行范围的扩展，通过构造不同的辅助函数对每一个定理进行推断，结合最基本的微分中值定理的内容，能使计算更加便捷。

参考文献：

[1]赵益坤，节存来，王磊.关于曲线积分中值定理中间点的一个一般性质[J].大学数学，2007，23（1）：166-169.

[2]王成伟.二阶柯西中值定理中间点的渐近性质[J].北京服装学院学报（自然科学版），2003，23（2）：62-65.

[3]覃淋，张旭.K阶拉格朗日中值定理巾间点的渐进性质[J].科技信息，2012（12）：9-10.