边界几何参数对空间平面张拉膜结构固有频率影响研究

第一作者刘充男，硕士生，1989年6月生

通信作者保宏男，博士，教授，博士生导师，1971年生

边界几何参数对空间平面张拉膜结构固有频率影响研究

刘充，李玉宇，保宏, 杜敬利

(西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，西安710071)

摘要：针对空间张拉薄膜阵面结构，用归一化动态响应函数法确定薄膜边界几何参数对固有频率影响关系。用Bessel函数作为薄膜横向振动偏微分方程的解，建立任意边界形状凸单连通薄膜及复杂边界薄膜固有频率求解模型；针对平面张拉薄膜分别求解圆形、L-形、分段圆弧边界固有频率；分析研究一定应力条件下边界几何参数对薄膜固有频率影响的内在关系。结果表明，边界形状导致薄膜面积减小、固有频率增加，反之亦然。

关键词：空间张拉薄膜结构；归一化动态响应函数；固有频率；有限元模型

基金项目：国家自然科学基金(51305321；51105290；51035006； 51175398)；上海航天科技创新基金项目(SAST201413)

收稿日期：2014-07-16修改稿收到日期：2014-10-17

中图分类号:TN957.3

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.20.033

Abstract:For a kind of space pre-tensioned membrane structures, a dimensionless dynamic influential function method has been proposed, which can efficiently figure out the frequencies of arbitrarily shaped, homogeneous membranes with fixed boundaries. A model using the Bessel function as the solution to the partial differential equation for transverse vibration of thin membrane was established which can be used to calculate the natural frequencies of membrane with different radius of curvature and chord length. For planar pre-tensioned membrane, the natural frequencies of membrances with circular, L-shape and subdivided arc boundary conditions were calculated. On the condition of unchanged stresses, the relationships between the natural frequencies and boundary geometrical parameters of membrane were analysed. It is indicated that the boundary which makes the area of membrane larger matches higher frequencies and vice versa.

Natural frequencies of pre-tensioned membrane structure with different boundary geometrical parameters

LIUChong,LIYu-yu,BAOHong,DUJing-li(School of Electromechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Key words:space pre-tensioned membrane structure; dimensionless dynamic influential function; natural frequency; finite element model

大型空间平面张拉膜结构因质量轻、包装折叠效率高、易于展开等特点，广泛用于太空可展开结构，如太阳帆、空间望远镜防护罩、可展开反射阵列天线等。周边索网张拉薄膜结构，见图1、图2。该结构由支撑杆、张拉悬索、平面薄膜组成，其中，张拉悬索包括外悬索、牵连索、内悬索。

针对该类型张拉薄膜结构，Sakamoto[1]理论上证明薄膜外形为圆弧状时膜内应力为最佳张紧状态，能有效避免褶皱产生；并研究该结构在膜、索给定应变条件下内外悬索截面积、索膜总质量随圆弧数目变化的函数关系。Park等[2]研究该结构的鲁棒性、分析膜面褶皱对固有频率影响认为，在角点支撑发生面内位移情况下外索能有效抑制角点位移向膜面内传播。Leifer等[3]用ANSYS分析薄膜边界剪切变形下褶皱出现临界条件及褶皱幅值、波数。Tessler等[4]研究由薄膜结构中索、膜大变形产生的几何非线性，并用薄壳屈曲理论分析褶皱幅值。汪有伟等[5]研究力与边界弧长数奇偶性质关系，分别给出优缺点。

图1 索网张拉阵面天线原理样机Fig.1Thephotoofthemembranearrayantenna图2 周边索网张拉薄膜结构示意图Fig.2Web-cablegirdedmembranestructure

以上对周边索网张拉薄膜结构研究多集中于几何参数优化及薄膜在轨工作表面精度(褶皱)，而有关结构参数对固有频率影响研究较少，薄膜固有频率为反映结构鲁棒性及保证形面精度的重要指标。

Kang等[6-8]提出归一化动态响应函数法，建立任意凸边界形状薄膜固有频率求解模型及多域法模型，可求解凹陷边界或区域内部不连续薄膜固有频率并推广到任意边界形状板固有频率求解。然而，该方法假设薄膜任意点受力相同，均为二轴等值拉伸应力状态，理论计算不存在任何问题，而工程应用中并非任何边界形状膜可实现此应力状态。

为此，本文提出分段圆弧状边界膜，通过边界索管道式张拉，理论上可实现均匀应力状态；并针对周边索网张拉薄膜结构，研究索膜在一定应力水平下结构参数对薄膜固有频率影响。

1任意边界形状薄膜振动模型

1.1凸单连通区域薄膜振动模型

1.1.1归一化动态响应函数

研究任意固定边界形状薄膜固有频率,设薄膜：①处于均匀二轴等值拉伸应力状态；②不承受任何弯矩、剪切；③材料均匀各向同性，且面内变形较小，满足Hooker定律；④面内张拉刚度远大于横向几何刚度，忽略面内振动。

考虑任意形状均匀薄膜，单位面积质量为ρ，单位长度张力为T，变形前完全处于xoy平面，见图3虚线。

图3　任意边界形状薄膜 Fig.3 Arbitrarily shaped membrane

对该膜边界Γ进行小位移u(rΓ,t)谐波激励，其中rΓ为边界任意点位置矢量。用w(r,t)表示薄膜在t时刻横向位移，其中r为薄膜任意点位置矢量，则其横向振动偏微分方程及边界条件[9]分别为

(1)

w(rΓ,t)=u(rΓ,t)

(2)

对谐波激励，用分离变量法将w(r,t)、u(rΓ,t)写为

w(r,t)=W(r)ejωt

(3)

u(rΓ,t)=U(rΓ)ejωt

(4)

式中：ω为激励源角频率。

代入式(1)、(2)得

2W(r)+Λ2W(r)=0

(5)

W(rΓ)=U(rΓ)

(6)

式(5)为Helmholtz方程，坐标变换后可得Bessel方程，基本解为Bessel函数，α阶Bessel函数表达式[10]为

引入归一化动态响应函数为

(7)

式中：ω为激励源角频率；r,rk分别为点P,Pk位置矢量；J0(x)为零阶第一类Bessel函数。

式(6)为连续边界条件，若将薄膜边界离散化，即用诸多离散点Pi(i=1,2,…,N)表示边界，则可得对应式(6)的离散边界条件为

W(ri)=U(ri)，(i=1,2,…,N)

(8)

当离散点个数N趋于无穷时，式(8)则会收敛为式(6)。

1.1.2任意固定边界薄膜方程

在无限大薄膜上选一条与实际薄膜有相同位置、形状虚构边界(图3)，沿边界分配N个点。若P1,P2,...,PN做简谐振动，设振幅为A1,A2,…,AN，通过线性叠加，点P总位移响应计算式为

(9)

利用式(8)可得

(10)

写成矩阵形式为

SM(Λ)A=U

(11)

等式(11)称为系统矩阵方程。对于周边固定薄膜的自由振动分析，式(11)中令U=0，得

SM(Λ)A=0

求解det[SM(Λ)]=0可得系统特征值即结构固有频率，薄膜相应模态由式(9)获得。至此，可求解任意几何边界形状薄膜固有频率。

1.2复杂边界形状薄膜振动模型

用单域法求解具有凹陷或含孔洞薄膜固有频率时计算结果往往不收敛，此因归一化动态响应函数为波形函数，考虑无限区域时会从一点沿全方位传播，而薄膜凹陷或孔洞区域会隔断波直线传播，因此单区域法求解得不到正确结果。

图4　凹陷薄膜被分成两子区域 Fig.4 Concavely shaped membrane subdivided into two domains

对两子区域分别用归一化动态响应函数单区域法获得系统矩阵方程分别为

SMⅠAⅠ=UⅠ

(12)

SMⅡAⅡ=UⅡ

(13)

或写成

(14)

(15)

亦可写为

SM11A1+SM1aAa=U1

(16)

SMa1A1+SMaaAa=Ua

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

分别代入式(17)、(19)，且在边界Γa上满足

(22)

(23)

式中：n为公共边界法线方向，该凹陷薄膜在公共边界法线方向上C1连续。

将式(17)、(19)代入式(22)、(23)得

SM(Λ)A=0

(24)

系统矩阵SM(Λ)、向量A表达式为

SM=

(25)

(26)

同理，可导出归一化动态响应函数三、四等多区域法，据薄膜边界形状合理划分区域，求出具有凹陷或含孔洞薄膜固有频率及模态。

2计算实例

2.1算例1：圆形薄膜固有频率

图5　圆形薄膜 Fig.5 The circular membrane

圆形边界薄膜固有频率存在理论解，本文分别用归一化动态响应函数单区域法及有限元法求解，并与理论解对比。选半径为单位1的均匀圆形薄膜，见图5，在边界上分别等间距取8，12，16点。

归一化动态响应函数法中，系统矩阵行列式值的对数随系统特征值Λ变化关系见图6，极值点横坐标为薄膜固有频率。

图6　圆形薄膜特征值 Fig.6 The eigenvalues of circular membrane

三种方法结果见表1。由表1看出，用归一化动态响应函数法求解结果非常精确，随边界点数增加收敛于理论解。取8或12个边界点时系统方程阶数较低，无法获取前八阶全部固有频率。而有限元法将无限自由度结构离散成有限自由度结构，增大结构刚度，故求解的固有频率值大于理论解。随单元划分细化，有限元解收敛于理论解。该算例表明归一化动态响应函数法对固定边界薄膜固有频率求解收敛性、精确性良好。

表1　圆形薄膜固有频率

2.2算例2：L-形薄膜固有频率

图7　L-形薄膜(单位：m) Fig.7 The L-shape membrane

L-形薄膜固有频率不存在理论解，本文分别用归一化动态响应函数多区域法及有限元法求解，将两结果对比，表明多区域法的有效性。将L-形薄膜分成两子区域，在公共边界取3个离散点，固定边界取24个离散点，见图7。

归一化动态响应函数两区域法中，系统矩阵行列式值的对数随系统特征值Λ变化关系，如图8，极小值点的横坐标表示薄膜的固有频率。

图8　L-形薄膜特征值 Fig.8 The eigenvalues of L-shape membrane

两区域法与有限元法结果见表2。由表2看出归一化动态响应函数多区域法的有效性与准确性。与有限元法相比，多区域法计算所需节点数目较少，且计算中无需数值积分，计算量大大减少。

表2　L-形薄膜的固有频率

2.3算例3：圆弧状薄膜固有频率

周边索网张拉薄膜结构中薄膜部分见图9，各边界等份若干段圆弧。其中l1=20m,l2=4m为薄膜长、高；N1,N2为薄膜长、高边界圆弧段数；θ1,θ2为长、高上圆弧圆心角。

图9　圆弧状固定边界薄膜 Fig.9 Shapes of circular segments of a membranewith fixed boundary

薄膜受均匀二轴等值拉伸应力T=1 440 Pa，材料参数见表3。

表3　材料参数

保持条件θ1=θ2=10°，N2=4不变前提下改变长边分段数，用多域法所得薄膜固有频率见表4。由表4看出，随长边圆弧段数增加薄膜面积变大，薄膜固有频率降低。同理，保持条件N1=20，N2=4，θ2=10°不变前提下改变长边圆弧圆心角，用多域法所得薄膜固有频率见表5。由表5看出，随圆心角增大薄膜面积减小，薄膜固有频率增大。

表4　薄膜固有频率随长边弧长数目变化关系

表5　薄膜固有频率随长边弧长圆心角变化关系

3结论

(1)利用归一化动态响应函数法求解任意形状固定边界薄膜固有频率，给出高效、精确求解薄膜固有频率方法，计算所需节点数远少于有限元方法。

(2)对复杂薄膜边界，所提多域法可有效弥补单域法不足。对周边索网张拉结构薄膜给出固有频率及边界结构参数(曲率半径、弦长)变化关系。

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