阻尼对耦合非线性能量阱系统影响研究

熊　怀，孔宪仁, 刘　源

(哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨　150080)

第一作者熊怀男，博士生，1989年生

阻尼对耦合非线性能量阱系统影响研究

熊怀，孔宪仁, 刘源

(哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨150080)

摘要：研究了耦合非线性能量阱的非保守系统的定向能量传递现象。基于复变量平均法推导含有阻尼参数的系统慢变方程，求解出系统能量与各参数近似关系，获得了系统能够实现定向能量传递时阻尼必须满足的条件，并给出了非线性能量阱具有吸振能力时线性振子阻尼有效范围，最后数值分析验证上述研究结果。

关键词：非线性能量阱；定向能量传递；立方刚度；阻尼约束；振动抑制

基金项目：国家自然科学基金(51375109)；哈尔滨工业大学科研创新基金(HIT. NSRIF. 2014027)

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-03-03

通信作者刘源男，讲师，1981年生

中图分类号:O328; O322

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.021

Abstract:Here, targeted energy transfer was investigated in a non-conservative system with nonlinear energy sinks. Firstly, the system slowly-varying equation containing damping parameters was derived based on the complex-averaging method. Then, the approximate relationships between the system energy and parameters were solved, the necessary conditions satisifed by damping to realize system’s targeted energy transfer were achieved. The effective range of a linear oscillator’s damping during nonlinear energy sinks having the capacity of vibration suppression was gained. At last, the above study results were verified with numerical simulations.

Influence of structural damping on a system with nonlinear energy sinks

XIONGHuai,KONGXian-ren,LIUYuan(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

Key words:nonlinear energy sink; targeted energy transfer; cubic stiffness; damping conditions; vibration suppression

卫星在整个生命周期中需要经历苛刻的动力学环境，而卫星快速响应[1]、即插即用[2]等新概念新技术的引入对振动环境提出更高的要求，这对星上敏感部、组件局部振动抑制或整星隔振技术提出了新的挑战。近年来，以定向能量传递(Targeted Energy Transfer，TET)为吸振机理的非线性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)得到长足的发展，它有减振效率高、时间短、吸振频带宽和鲁棒性强等特点，这为卫星减振系统设计提供了一种新的途径。

耦合非线性振子的系统各模态之间容易发生相互作用，从而使能量在振子间相互传递，TET是指在一定条件下振子能量能够实现定向、高效传递的特殊现象。深入分析实现TET的必要条件有助于NES的进一步研究。文献[3-4]用非平稳变换法研究了耦合理想立方刚度的Hamilton系统的能量传递，首次指出在1:1内共振条件下系统能够实现TET，并用数值方法证明在小阻尼系统中同样存在定向能量传递现象。文献[5]提出一种耦合非线性振子系统分析方法——复变量平均法，基于该法文中还指出系统各振子存在模态局部化，使得能量集中。

NES的减振效率与TET密切相关，文献[6]中分析了NES质量比对系统能量传递影响，并得到NES的质量比应远远小于1的结论；而文献[7]研究表明在特定初始条件下系统实现能量完全传递时有一个最小质量比。可见NES的质量比具有一定的范围。而文献[8]用复变量平均法研究理想立方刚度的NES对振动抑制效率的影响，合理的设计非线性刚度能够极大的提升NES振动抑制效率。在文献[9]中讨论了NES振动抑制效率对初始条件的敏感依赖性，结果表明在保守系统中只有特定的初始条件范围内NES才能实现TET。此外还有其它大量文献(参阅文献[10-12])关于NES的力学特性研究。

我们注意到，关于NES的研究均集中在保守的Hamilton系统前提下，小阻尼系统NES也具有吸振能力。可见，阻尼在一定程度上影响着非线性能量阱。本文将研究系统阻尼对耦合NES系统振动抑制效果影响。文中首先用复变量平均法推导出系统能量传递和耗散的近似关系，利用该式得出了NES阻尼对能量耗散的影响；基于非保守系统的慢变方程，得到系统能量与系统各参数关系式，基于该式得到系统实现TET阻尼的必要条件；综上两点结论求得NES能够进行振动抑制时主振子阻尼的临界值；最后数值仿真验证上述结论。

1系统动力学模型简介

1.1系统模型

星上某敏感部件的振动抑制模型可简化为图 1所示的耦合单自由度NES的线性振主结构。该结构中k2为理想的立方刚度，其它均为线性参数，该非保守系统微分方程可以表示为式(1)。

图1　耦合NES结构简图Fig.1 Schematic of system coupled NES

(1)

将式(1)写成无量纲方程

(2)

式中:

(3)

用复变量平均法对推导式(2)的慢变方程。

1.2系统慢变方程

对式(2)引入变量替换

(4)

讨论NES在1:1主内共振时的振动抑制效果，引入复变量

(5)

φj=φj0+εφj1;j=1,2

(6)

不难得出系统的慢变方程

(7)

(8)

式中:δ=1/ε。值得一提的是，在多尺度展开中质量比要求：ε≪1，这是TET产生的必要条件，结合该慢变方程式(7)和式(8)可以对耦合NES系统阻尼进行分析。

2NES阻尼分析

耦合NES结构中的阻尼是系统能够实现TET的前提条件，这一部分以耦合NES的非线性系统能够发生跳跃为出发点，分析NES阻尼条件。在文献[10]中提到在系统趋于平衡态时有

(9)

将复变量用模和相角表示，即

φj0=Rj(t1)exp[iθj(t1)]

j=1,2

(10)

将式(10)代入式(7)和式(9)，令其实部与虚部分别相等，可以得到

(11)

在耦合NES的系统中存在阻尼时，系统一定存在能量的耗散。式(11)中的第一式表示能量耗散，当阻尼均为0时，系统主结构的能量耗散率为0，显然此时系统为对应的保守系统，并不会引起能量的减少；当系统中两个阻尼至少有一个不为0时，式(11)第一个等式右端始终小于0，这表示能量是一直在减小的。

对于第二式有隐含关系

(12)

图2　振子能量关系Fig.2 The relationship of energy between oscillators

(13)

(14)

大于或等于此临界值时，函数关系式只存在一个极值点，函数单调递增，不会出现非线性跳跃现象，系统不能实现能量传递，故要实现系统TET，NES阻尼必须满足关系式

(15)

当阻尼满足此关系时，函数关系具有两个极值点，能够出现非线性跳跃，在满足一定的初始条件后即能够实现TET。可见NES的阻尼条件是保证系统能够实现TET的前提条件，这个条件与主结构的固有频率有关。

3系统阻尼讨论

3.1能量耗散与参数关系

当主结构阻尼足够大时，不管NES阻尼参数如何设计，系统能量完全可以通过主结构阻尼耗散掉，显而易见，要NES能够实现减振的效果，主结构阻尼必须小于某个临界值。上一节通过讨论得到了NES阻尼的临界值，这一节同样用TET发生为条件，寻求NES具有吸振能力时，主结构阻尼必须满足的条件。

(16)

当系统的阻尼均为0时，即λ1=λ2=0，上式表示对应保守系统的能量，即

(17)

X2(s)=

(18)

再对式(18)进行Laplace反变换有

H(t1)=

式中:H(0)表示系统的初始能量。通过式(19)可以知道，系统的能量完全可以通过系统阻尼参数表示，为了便于分析将上式的积分项Taylor展开

(20)

(21)

同理有式

(22)

图3　能量响应对比Fig.3 Energy response comparison

3.2阻尼关系讨论

上一小节我们讨论得出可以通过式(19)来近似的表示原系统，这一节讨论同样利用这个关系式。注意到式(19)有阻尼参数的特殊关系，即

δλ2-λ1=0

(23)

那么系统的能量耗散

H(t0)=H(0)exp(-λ1t0)

(24)

在该种情况下系统的能量耗散只与初始条件和主结构阻尼有关，此时耦合NES的系统内部仍然可以发生能量的相互传递，但是并会减少系统的总能量，NES不再具有减振作用。可见阻尼关系式(23)是系统能量传递的一个临界值条件。讨论两种情况：

(1)δλ2>λ1时

与该系统对应的非耦合NES系统的能量耗散为

H0(t1)=H(0)exp(-λ1t1)

(25)

将式(20)代入式(19)可以获得耦合NES系统的能量耗散关系。为了研究NES是否具有减振效果，可以以NES耗散系统能量为衡量标准。作能量差

ΔH=H0(t)-HNES(t)

(26)

那么结合式(21)有

ΔH=H(0)e-δλ1t-

(27)

注意到式中(27)中还有一个关系

(28)

此时的前提条件是系统的初始能量全部集中于主结构振子中。式(27)中有初始条件的Taylor展开，用数学归纳法不难证明

ΔHmin(t)=H0(t)-HNES(t)≥0

(29)

既有在满足关系δλ2>λ1时，对于有限时间内系统能量差大于0恒成立。此时的ΔH由NES来吸收，此时NES不仅能够与主结构发生能量的相互传递，还能达到吸收主结构能量的目的，从而实现减振的目的。

(2)δλ2<λ1时

在该种情况下，同样方法可以证明能量差的最小值一定小于0，那么有如下关系

∃tc>0使得ΔH(tc)=0

(30)

此时系统虽然满足能量相互传递的条件，但是能量传递经过一个周期以后又返还给了主结构，所以存在能量为0的时刻，其中tc并不唯一。这种情况下NES虽然能够相互传递能量，但是并不能达到减少主结构振动能量的目的。

综述(1)和(2)两种情况分析结果，在有阻尼系统中，若要NES能够实现TET以达到减振的目的，系统阻尼必须满足条件

δλ2>λ1⟹λ2>ελ1

(31)

在式(15)中给出了NES阻尼的有效范围，结合式(31)可以得到如下关系

(32)

式(32)中不难得出，当主结构阻尼λ1足够大时，NES的阻尼范围可能出现空集的可能，此时NES不再具有减振效果，主结构振动完全可以通过λ1减小振动。如果将主结构写成具有标准形式的振动方程，即

(33)

可以利用关系

2ξω0=ελ1

(34)

结合该关系和式(32)可以得出主结构阻尼范围

(35)

不难发现主结构阻尼的有效范围是一个常值，与系统的其它参数无关。主结构的微分方程变换为标准方程，当阻尼大于临界值ξcr时，系统可以通过自身阻尼达到减小振动的目的；当阻尼小于临界值ξcr时，则通过耦合NES的方法去减小主结构振动。

在工程应用中，当结构可以简化为线性的单自由度系统，并受到一个冲击载荷时，在结构阻尼比大于临界值时，系统可以通过自身阻尼的作用减小振动，但减振效率低，抑制效果差，振动抑制措施需要其它方法；当结构的阻尼比小于该临界值时，可以通过耦合单自由度NES结构的形式实现高效、快速的振动抑制。

4数值验证

4.1阻尼关系

上一部分我们理论分析了耦合NES的单自由度线性振子的系统阻尼必须满足关系λ2>ελ1，这一节我们用四阶Runge-Kutta数值方法，将非耦合NES的振子系统与耦合NES的振子系统进行对比分析，数值验证上述结论。

在图 4(a)中的阻尼参数满足关系λ2<ελ1(λ1=0.5,λ2=0.03)，非耦合NES的振子即实线，振子能量一直在缓慢减小，需要耗散能量时间很长。对于耦合NES的系统，能量耗散情况略有不同，能量呈现震荡形式，在很短的一段时间内能量急剧减少，但同样在一段时间内主振子能量又迅速恢复到一定的程度，经过多个周期后能量耗散完毕，耦合的NES振子只是起到一个能量传递的作用。对于两个振子能量变化曲线存在明显的交点，在交点处有关系ΔH=0，即耦合NES的系统在经过一个周期后，主振子剩余的能量与非耦合NES的系统经过相同时间后所剩余的能量是一样的，虽然在非耦合NES的系统中能量发生了传递，但是NES并没有耗散能量，NES只起到一个能量传递的作用，没有减振效果，系统能量的减少仍像非耦合NES的系统一样，均由主结构阻尼吸收。

图 4(b)阻尼参数满足关系λ2=ελ1(λ1=0.5，λ2=0.04)时对应的能量响应曲线，从图中不难发现，此时两条曲线虽然没有明显的交点，但是总体能量传递趋势与图4(a)类似，在此阻尼参数下，一周后能量差值很小，NES只耗散很小的一部分能量，系统大部分能量仍由主结构吸收，NES并不能实现高效减振的目的。

图4　能量响应对比Fig.4 Energy response comparison

图5(a)和图5(b)是系统阻尼均满足关系λ2>ελ1时对应的能量变化曲线，对于耦合NES的系统，能量在一个周期内急剧减少，虽然也出现了振子间能量相互传递，但是传递的能量很少，与非耦合NES系统相对比，NES实现了高效的能量转移，在第一个周期内就吸收了主振子90%以上的能量，并且耗时很短。可见只有在系统阻尼满足关系λ2>ελ1时，NES才能实现TET从而达到减振的目的。图5(a)λ1=0.5,λ2=0.3；(b)λ1=0.5,λ2=0.2。为了更加直观的对比耦合NES与非耦合NES系统的减振效果，在图6中为主结构振子的幅值响应曲线，图6(a)系统附有NES振子，图6(b)为非耦合NES的系统，不难发现附有NES振子的系统幅值衰减很快，NES吸收主结构振子能量明显。数值证明了只有系统阻尼满足关系λ2>ελ1，NES才能实现TET，具有高效减振效果。

图5　能量响应对比Fig.5 Energy response comparison

图6　主结构幅值响应Fig.6 Amplitude response of main structure

4.2主结构阻尼范围验证

系统减振能力的评价可以用耗散时间来表示，即系统耗散初始总能量的η(0<η<1)所用的时间，这里取η=1-1/e=63.21%来衡量[12]。对于非耦合NES的系统，将微分方程转换成标准方程，阻尼为ξ，用复变量平均法可以将微分方程转变成形式

(36)

对上式共轭复变换有

(37)

那么有

(38)

式中:C0与初始条件有关，可以求得

(39)

同样系统的能量可以表示成形式

(40)

不难求得耗散时间td

(1-η)E(0)

(41)

对于耦合NES的主结构系统，可以用式(19)近似求得系统的耗散时间，结合式(21)经过简单的数学推导可以得到当初始能量全部集中于主振子时，耦合NES的系统的耗散时间td可以式(41)相似的推导过程，可以得到关系

{1+[λ2-2ε(λ1+λ2)td]}

exp(1-λ2td)=1

(42)

借助数学工具软件上式求解是很容易的。在图7中非耦合NES主结构与耦合NES主结构的耗散时间对比图。图 7(a)为非耦合NES系统(实线)与耦合NES系统(虚线)耗散时间对比图，从图7(a)可知，阻尼比约大，所需的耗散时间约长，当阻尼比大于临界值ξcr=0.227 8时，系统的耗散时间曲线基本重合的，主结构能够完全依靠自身的阻尼抑制振动，增加NES只能使结构冗余，无作用；当主结构阻尼比小于临界值ξcr时，NES能够大幅度缩减耗散时间，而且阻尼主结构阻尼比越小，NES振动抑制效果明显。图 7(b)耦合NES系统不同NES阻尼对应的耗散时间对比图。可见经数值验证，理论推导的临界值是有效的。

图7　阻尼与耗散时间关系Fig.7 Relationship between damp and time of dissipation

5结论

本文以耦合非线性能量阱系统的定向能量传递为出发点，基于复变量平均法分析系统能量耗散与系统各参数相互关系，通过研究函数关系特殊点讨论系统对应的力学特性。得到以下三个结论：

(1)耦合非线性减振器的非保守系统中，系统发生定向能量传递的前提条件是非线性能量阱阻尼必须小于某一定值，该定值与主结构固有频率有关；

(2)初始能量全部集中于耦合非线性能量阱的主结构时，系统阻尼必须满足一定的关系才能使非线性减振器实现定向能量传递；

(3)线性振子阻尼在小于临界值0.2278时，非线性能量阱才具有吸振能力，并且线性振子阻尼越小，合理设计非线性能量阱后吸振效果越佳。

数值仿真验证了上述结论。

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