一类特殊类型的Riccati方程的求解

张 玮 玮

(安庆师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 安庆 246133)



一类特殊类型的Riccati方程的求解

张 玮 玮

(安庆师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 安庆 246133)

摘要：Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。然而，对于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般没有初等解法，其解无法用初等函数或其积分表示。本文讨论了一类特殊类型的里卡蒂方程解的求解方法，并得出了其通解的公式，最后举例说明求这类方程的通解。

关键词：微分方程； 里卡蒂方程；特殊；通解

非线性微分方程在理论和实践中有着极其广泛的应用，而且越来越引起人们的研究兴趣。但是，求解非线性微分方程问题，却往往是很困难的。众所周知的里卡蒂(Riccati)方程：

(1)

在微分方程理论中占有重要的位置[1-4]。事实上，能有初等解法的微分方程是很有限的，对于形式上很简单的Riccati方程一般没有初等解法。

但是，对于一些特殊类型的里卡蒂方程，譬如：在方程(1)中，若R(x)=0，则方程(1)变为伯努利方程，可以通过初等积分求其通解。若Q(x)=aP(x),R(x)=bP(x)，a,b为常数，则方程(1)变为

(2)

方程(2)为变量分离方程，可以通过初等积分求出其通解。

对于一般的Riccati方程的求解，法国数学家Liouville在1841年证明了，其解无法用初等函数或其积分表示。然而，若能找到方程(1)的一个特解，则可以适当的经过变换后，方程(1)就可以通过初等解法来求其通解。

(3)

则(3)式变为：

此方程为关于z的伯努利方程。

从引理中可以发现，只要找出方程(1)的一个特解，就可以利用初等积分的方法求出其通解。然而对于方程(1)的一个特解并不是很容易求出，现在就一类特殊的情况加以讨论。

左端：

右端：

P(x)y2+Q(x)y+R(x)=

P(x)(∫R(x)dx)2-P(x)∫R(x)dx·∫R(x)dx+R(x)=R(x)

下面通过几个例子来说明本文所得结果。

解这里的P(x)=1,Q(x)=-x,R(x)=1，满足定理的条件。

解将原方程变形为：

解得

其中C为任意常数,所以原方程的通解为

其中C为任意常数。

参考文献:

[1] 王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2006:39-46.

[2] 王怀荣，伍卓群.常微分方程讲义[M].北京：人民教育出版社， 1963:44-56.

[3] 尤秉礼.常微分方程补充教程[M]. 北京: 高等教育出版社， 1981:32-41.

[4] 中山大学数学力学系常微分方程组. 常微分方程[M]. 北京: 人民教育出版社，1978:56-72.

Discussion on the General Solutions of the Special

Riccati Ordinary Differential Equations

ZHANG Wei-wei

(School of Mathematics and Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui 246133，China)

Abstract:Riccati equation is an important equation in the ordinary differential equations. However, for the soltions of the general Riccati ordinary differential equations, there is no elementary solution. The solution cannot be expressed in elementary function or integral. The general solutions of a special Riccati ordinary differential equations are discussed, and the formula of the general solution was obtained. Examples are given to illustrate the effectiveness in the end.

Key words:ordinary differential equations, Riccati, special, the general solutions

文章编号：1007-4260(2015)02-0110-02

中图分类号：O175.1

文献标识码：A

作者简介：张玮玮，男，安徽桐城人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为微分方程及其应用。

基金项目：安徽省高等学校省级教学研究项目(2012jyxm364)和安徽省高校自然科学研究一般项目(AQKJ2014B012)。

收稿日期：2014-11-20