权重梯形网络等效电阻的研究

权重梯形网络等效电阻的研究*

邱为钢

(湖州师范学院理学院浙江 湖州313000)

张 萍

(北京师范大学物理学系北京100875)

*国家自然科学基金,项目编号：11275067；浙江省高等学校创新团队，项目编号：T200924；湖州师范学院首届中青年教师卓越教学能力培养计划；浙江省高等学校访问学者教师专业发展项目.

摘 要：权重梯形网络是梯形网络的推广，上、中、下3层各级电阻为等比级数.由电阻的串、并联性质，得到了这个网络N阶等效电阻的递推关系式及计算程序.当权重系数相等时，给出了无穷权重梯形网络等效电阻的解析表达式.

关键词：梯形网络等效电阻权重系数

收稿日期：(2014-08-07)

作者简介：邱为钢(1975-), 男, 博士，副教授，主要从事大学物理的教学和研究.

1引言

把梯形网络电阻看作是一级级的开口形电阻组合，那么，文献[1～4]研究的梯形网络电阻，每一级是相同的.我们可以继续推广这个模型，即每一级开口电阻不再相等，且上、中、下各层电阻前后级成正比关系(权重)，而且权重比例系数不同.当级数趋向无穷大时，这个网络的等效电阻如何计算？这就是本文主要研究问题.

2等效电阻递推式

设权重梯形网络电阻的级数为N，等效电阻为RN.每一级的上、中、下层电阻是前一级相应各层电阻的倍数，比例分别为k1,k,k2.最左端的各层电阻分别为r1,r,r2，如图1所示.

图1　权重梯形网络电阻

从最右端的电阻开始往前逐级计算，最右边的一级电阻是

R0=k1Nr1+k2Nr2+kNr

(1)

由电阻的并联关系式，得到第N级电阻与第N-1级电阻的递推关系

(2)

式(2)电阻的迭代公式，很容易用数学软件编程数值计算.数学软件Mathematica的程序为：

R[k1_,k_,k2_,r1_,r_,r2_,N_]:=

理论上当级数N趋向无穷大时，以上程序给出的数值结果就是这个权重梯形网络的等效电阻.但数值计算时，级数N越大，计算时间越大，一般我们取N=100，认为这个值就是等效电阻值.

3权重系数相等时的等效电阻

接下来我们研究电阻的解析性质.当各层电阻的比列系数相同时,即k1=k=k2，式(2)有解析解.设Rn=kN-nPn，式(2)化为

(3)

An=krAn-1+(r1+r2)Bn

(4)

Bn=kAn-1+rBn-1

(5)

如果

(6)

那么就有

(7)

(8)

式(7)除以式(8)，计算得到N级梯形网络等效电阻满足的关系式为

(9)

计算得到式(9)中的各个参数为

(10)

(11)

以及

(12)

式中

4等效电阻方程

接下来我们考虑各层电阻比列系数不同时，无穷梯形网络等效电阻所满足的关系式.设这个无穷等效电阻为R(r1,r2,r,k1,k2,k), 由式(2)取极限，得到

(13)

式(13)就是等效电阻满足的方程，目前看来没有解析解，但当各层电阻的等比系数相同时，可以求解，此时式(13)化为

(14)

由等效电阻的相似性质

R(kr1,kr2,kr,k)=kR(r1,r2,r,k)

(15)

计算得到无穷梯形网络的等效电阻为

(16)

这与式(9)当N趋向于无穷大的极限的结果是一致的. 当比例系数k趋向于1时，式(16)就返回到文献[2]的结果.

5结论

这样，把梯形网络电阻推广到权重梯形网络电阻，得到了等效电阻所满足的关系式.当权重系数相同时，得到了无穷权重梯形网络等效电阻的解析表达式.

参 考 文 献

1江超. 梯形电阻网络的研究. 大学物理, 2000 , 19 (3) :19～22

2陆建隆,谭志中. 关于梯形网络等效电阻的普适研究.大学物理,2001,20 (10) :26～28

3李永安. 梯形网络等效电阻的网络分析. 大学物理,2002 ,21 (12) :9～10

4李永安.梯形网络等效电阻网络分析的再研究. 大学物理,2003 ,22 (10) :12～14

A Study on the Equivalent Resistance of

Weigthed Ladder-shaped Network

Qiu Weigang

(School of Science, HuZhou Teachers College, HuZhou, ZheJiang313000)

Zhang Ping

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing100875)

Abstract:The weighted ladder-shaped network is a network in which each ladder resistance is a geometric series. The recursion equation of equivalent resistance is derived with a mathematic code. The analytical expression of equivalent resistance is given when the weight coefficients are the same

Key words: ladder-shaped network; equivalent resistance; weigth coefficient