含液饱和多孔弹性梁随机振动

2016-01-11周凤玺,马强,米海珍

振动与冲击 2015年22期

含液饱和多孔弹性梁随机振动

周凤玺1,2，马强1，米海珍1

(1.兰州理工大学土木工程学院，兰州730050； 2. 兰州理工大学西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，兰州730050)

摘要：据不可压多孔弹性介质理论及随机振动理论，建立孔隙流体沿轴向扩散情形下含液饱和多孔弹性梁在集中荷载作用下横向弯曲随机振动方程。分析梁位移响应及截面固相弯矩响应，获得输入集中荷载为平稳随机过程时简支梁位移、弯矩响应的功率谱密度函数及方差等数字特征。作为数值算例，考虑理想白噪声平稳随机集中荷载作用下的简支饱和多孔梁，分析其位移响应及界面固相弯矩功率谱密度函数，讨论流-固耦合项对梁位移及弯矩的减振效果。结果表明，通过控制孔隙中流体的渗透系数可达到控制梁的随机振动目的。

关键词：多孔介质理论；随机振动；功率谱密度函数；简支梁

中图分类号:O324文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金(51174013)

收稿日期：2015-03-21修改稿收到日期：2015-05-24

Random vibration of fluid-saturated porous elastic beam

ZHOUFeng-xi1,2,MAQiang1,MIHai-zhen1(1. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China；2. Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Abstract:According to the theory of incompressible porous elastic medium and the random vibration, theory of continum, a random equation for the transverse bending vibration of fluid-saturated porous elastic beam was established with a concentrated load under the condition of diffusion of pore fluid along the axial direction. Through the analysis on the responses of the displacement of beam as well as the solid phase bending moment at cross section of beam, the power spectral density function and its variance and other digital features of the displacement and bending moment responses of a simply supported beam were obtained when the concentrated load is a stationary random process. As a numerical example, considering the saturated porous simply supported beam under the concentrated load of an ideal white noise stationary random process, the power spectral density functions of the displacement response and the interface solid phase bending moment response were analyzed and the damping effects of the flow-solid coupling term on the beam displacement and bending moment were also discussed. The results show that random vibration of the beam could be controlled by changing the coefficient of permeability of the pore fluid.

Key words:porous media theory; random vibration; power spectral density function; simply supported beam

含液饱和多孔介质在岩土、生物及传热传质等众多工程领域中均有重要用途。由于骨架与液体相互作用及两者不同运动特性，含液饱和介质的力学行为与单相介质截然不同，特性独特。自Biot[1-2]提出描述饱和多孔介质动力特性的基本方程以来，均从不同角度对该问题进行研究，但因该理论基础缺乏充分的热力学依据，而使基于连续介质混合物公理及体积分数概念的多孔介质理论与数值方法研究取得长足进展，并广泛用于不同工程领域[3]。

Li等[4-5]通过研究饱和多孔弹性梁、杆的振动与拟静态响应，认为Mandel-Cryer现象亦存在于多孔弹性梁、杆的变形响应中。杨骁等[6-9]利用不可压饱和多孔介质模型研究饱和多孔弹性梁、板结构的线性及非线性动力响应。Shanker等[10]基于两相多孔介质理论，研究两种不同饱和多孔材料组成的复合中空圆柱壳的径向振动。Rani等[11]研究任意厚度饱和多孔材料平板应力与质量耦合参数、弹性常数等关系。

本质上，结构所受外界激励均为随机的，有关结构或构件的随机振动研究已取得诸多研究成果[12-13]，但关于含液饱和多孔材料结构的随机振动分析未见报道。本文据不可压饱和多孔介质模型与连续体随机振动理论，以简支梁为例，研究不可压含液饱和弹性梁在随机集中荷载作用下的振动，分析梁的挠度及界面固相弯矩响应，获得功率谱密度函数、方差等数字特征，重点分析流-固耦合项对梁减振效果影响规律。

1含液饱和多孔梁随机反应

(1)

图1　弹性地基饱和多孔梁 Fig.1 A saturated poroelastic beam on elastic foundation

将含液饱和多孔梁挠度w(x,t)按梁固有振型φn(x)展开，即

(2)

不同边界条件下梁的固有振型φn(x)见文献[14]。此处考虑两端简支，满足边界条件的振型函数为

(3)

第n阶简支梁固有频率[15]为

(4)

将式(2)、(3)代入式(1)，用第m个振型函数φm(x)同乘等式两边，并沿梁长积分，利用固有振型正交条件得

(5)

式中：ξn为含液饱和多孔梁内阻尼率，且有

(6)

由式(5)可得主坐标yn(t)对应输入集中荷载时频响函数，即

(7)

据叠加原理，可得含液饱和多孔梁频响函数为

(8)

由式(8)可获得梁的脉响函数及动力响应。

2随机反应统计值

2.1挠度功率谱密度及均方值

考虑不可压饱和梁集中荷载P(t)的均值为零、谱密度为SP(ω)的平稳随机过程，则第n阶主振动wn(x,t)的谱密度为

(9)

上式表明，饱和多孔梁阻尼系数ξn不大、SP(ω)为白噪声时，在固有频率ωn附近有共振峰；当SP(ω)为白噪声时，Swn与固有频率ωn四次方成反比。因此高阶挠度分量功率谱密度较小；沿梁长度各点挠度分量功率谱密度不同，但节点处始终为零。

由于每阶固有振型频谱均含一种频率成份,实际情况下固有频率相离较远，频谱之间重叠较少，且相位关系亦随机。故各阶固有振型间相关性较小，wn(x,t)(n=1,2,…)可视为不相关，挠度w(x,t)功率谱Sw(x,ω)为各挠度分量功率谱密度Swn(x,ω)之和，即

(10)

输入P(t)为理想白噪声即SP(ω)为常数SP时，由留数积分可求得第n阶主振动wn(x,t)方差为

(11)

由式(6)、(11)知，减小饱和多孔梁的渗透系数kf可减小挠度分量方差；该方差与固有频率ωn的三次方成反比，故高阶挠度分量方差值较小；由于饱和多孔梁中由流-固耦合引起的内阻尼与固有振型阶数无关，因此对减小各阶挠度分量的方差值具有相同效果，使含液饱和结构尤其适用减小多频或宽带随机激励下振动；沿多孔梁长度各点挠度分量方差值不同，在固有振型节点处方差值始终为零。挠度w(x,t)的方差为

(12)

(13)

由式(6)、(13)可知，含液饱和梁中由于流-固耦合所致减振效果主要取决于流体在空隙中的渗透系数，而与流体体积分数nf及孔隙率无关。

2.2固相弯矩功率谱密度及方差

由式(2)知不可压含液饱和梁固相弯矩M(x,t)为

(14)

与梁挠度功率谱密度相似，当输入P(t)是均值为零、谱密度为SP(ω)的平稳随机过程，固相弯矩M(x,t)的功率谱密度为

(15)

集中荷载P(t)为理想白噪声时，固相弯矩M(x,t)的方差为

上式表明，减小饱和多孔梁的渗透系数kf同样可降低饱和多孔梁的弯矩方差。

同样，设单相弹性固体梁截面弯矩M0(x,t)的方差为DM0(x)，并记单相弹性梁与不可压饱和梁的截面弯矩方差比为βM=DM(x)/DM0(x)，可得

(17)

3数值算例

考虑不可压饱和多孔简支梁，梁长l=1 m，横截面0.03 m×0.04 m，饱和多孔材料物理力学参数为E=8.375×106N/m2，ν=0.3，C=0.02 s，nf=0.33,ρs=2 000 N/m3，ρf=330 N/m3，γRf=1.0×104N/m3,kf=1×10-2～5×10-5m/s。考虑集中荷载为平稳随机过程，且为理想白噪声，其功率谱密度为常数SP。随机集中荷载作用于xp=l/2时，梁中点位移及截面弯矩功率谱密度函数Sw/SP在不同渗透系数下随频率变化曲线见图2、图3。功率谱密度函数图形从频域上描述出振动统计特性及振动能量对频率的分布规律。由两图看出，由于饱和多孔梁中流-固耦合项使位移、弯矩响应功率谱形状发生较大变化。随孔隙中流体渗透系数逐渐减小，功率谱形状与单相连续弹性梁有显著不同。可利用此性质通过改变流体的渗透系数改变振动能量对频率的分布规律。

图2　梁中点位移响应功率谱密度函数 Fig.2 Power spectral density function of the beam midpoint displacement response

图3　梁中截面弯矩响应功率谱密度函数 Fig.3 Power spectral density function of the beam bending moment response

分析含液饱和梁中流-固耦合所致阻尼对梁的减振效果，βw及βM随渗透系数变化曲线见图4、图5。由两图看出，当渗透系数kf较小时βw及βM曲线变化较快, 说明减小kf对减振较有效；当kf增大到一定程度时曲线平缓, 说明再增大kf对减振作用不大。利用此性质可对结构减振降噪发挥重要作用。

图4　β w与k f关系曲线 Fig.4 Relationship curve of β w and k f

图5　β M与k f关系曲线 Fig.5 Relationship curve of β M and k f

4结论

基于不可压饱和多孔介质模型和随机振动理论，研究不可压含液饱和弹性简支梁在随机集中荷载作用下的振动。结论如下：

(1)由于饱和多孔梁中流-固耦合项使位移响应功率谱形状发生较大变化，通过改变孔隙中流体的渗透系数改变振动能量对频率的分布规律。

(2)减小孔隙中流体的渗透系数可增大含液饱和梁的阻尼系数。渗透系数较小时减振效果显著，而当其增大到一定程度后减振效果不显著。

(3)流-固耦合项对各阶固有振型都均有相同减振效果，流-固耦合阻尼减振尤其适用弹性梁在多频或宽带随带激励情况。

参考文献

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