《线性代数》基本概念教法研究

2016-01-08赵婷李峰涛

读与写·下旬刊 2016年1期

赵婷李峰涛

摘要：《线性代数》是普通高等院校重要的公共基础课，也是一种在自然科学和工程技术各领域应用广泛的数学工具。基本概念的教学在线性代数课程占据重要的基础位置。如何合理巧妙引入定义，生动形象的比喻以及方法思想的简洁概括对教学环节显得特别重要。

关键词：线性代数；教学方法

中图分类号：G72 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0005-02

《线性代数》是许多自然科学和现代工程技术的基础，它不仅是学习后续课程的不可缺少的工具，而且能够培养学生的抽象思维能力、科学运算能力、综合分析解决问题能力。由于《线性代数》课时的限制、概念定理的高度抽象，很多学生掌握不好，因此学习兴趣不高。如何学好这门课程，关键是准确把握基本概念、定理、法则以及一些基本规律。因此，在教学过程中，教师如果能合理巧妙地引入重要概念定理，生动形象的比喻性质方法，就会淡化数学概念上的抽象性，让学生一听就懂，简单明了。

1.合理巧妙引入

例1矩阵的初等变换是《线性代数》中的基本运算，整个《线性代数》学习过程中，常常用到把矩阵先化为行阶梯形，再化为行最简形，比如解线性方程组，求可逆矩阵，找向量组的最大线性无关组等。教师可以从学生熟知的消元法求解线性方程组来讲解矩阵的线性变换，解线性方程组过程中改变的只是未知数的系数和常数项。教师可以通过简单的线性方程组的消元过程，由于矩阵和线性方程组一一对应，一个方程对应矩阵的一行，来给出矩阵的行初等变换。

例如：求解线性方程组

对应的矩阵变换为：

方程组变换是可逆的，例如

故对应的矩阵变换也是可逆的，

此例既展现了消元法求解线性方程组的过程就是它所对应矩阵的变化过程，由此得到矩阵的三种初等变换，又清楚地看到三个初等变换是可逆的，且逆变换也是同类型的初等变换。我们将要学的知识和学生以前掌握的知识联系起来进行讲解，既能让学生感到亲切、熟悉，又能快速掌握新知识，提高学生学习兴趣。

2.生动形象比喻

例2设A=1 1 0 02 3 1 00 0 1 0的行最简形矩阵为F，求F，并求可逆矩阵P，使得PA=A。

解：

由此可得，

从而P3P2P1A=F，则P=P3P2P1，这种求法就像从起点跑步到终点，想知道跑了多少步，每一次初等行变换得到一个初等矩阵，就像一步一数，太麻烦。能不能有一个工具帮忙计数，你只管跑，这个工具帮你计步，当然可以了，这就是计步器了。同样的，矩阵A只需要一心一意变换成行最简形F，在A身上绑上"计步器"E，E可以记录A每一步，当A变换成行最简形F时，"计步器"E就变成所求的P。即：

例3 向量组线性相关性中有性质"有部分线性相关，则整体线性相关；整体无关，则任意部分均无关"。我们可以先利用定义进行证明，让学生理解性质内容，然后再给出恰当比喻，方便学生记忆。

设向量组A：a1，a2，L，as，as+1，L，am，假设其中a1，a2，L，as线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，L，ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0，

从而这组数k1，k2，L，ks，0，L，0不全为零，能够使得k1a1+k2a2+L+ksas+0as+1+L+0am=0。

故向量组线性相关。因此，有部分线性相关，则整体线性相关；由它的逆否命题可得到"整体无关，则任意部分均无关"。我们可以举出生活中的例子，比如衣服上袖子有一个洞，就可以得到衣服是有洞的；衣服上无洞，则衣服的任意部分均无洞。这样讲解学生既能清楚理解性质，而且感到有趣、好记忆。

3.简洁精炼概括

例4 在行列式计算中我们常遇见这样一类特殊类型的行列式：

它们的特点是矩阵中主对角线上的元素相同，其他位置元素一样；矩阵中副对角线上的元素相同，其他位置元素一样。我们给这种类型起一个名字为"林荫小道型"，对角线为小道，其他元素称为小树。

像A这种类型行列式的计算，我们总结三步：先把其他行都加到第一行，再提出公因数，最后利用第一行的1消灭其他行的小树。

像B这种类型行列式的计算，我们总结三步：先把其他行都加到最后一行，再提出公因数，最后利用最后一行的1消灭其他行的小树。

4.结束语

《线性代数》在大学数学教学有这非常重要的基础地位，以上对《线性代数》教学中如何合理巧妙地引入重要概念、定理，生动形象地比喻性质、方法，分别作了阐述，这些只是教学中的几个例子。在教学过程中，教师应该深钻细研，精心设计组织教学结构和内容，巧妙地引入重要定义概念，同时启发学生思考、发现解决问题的方法。让学生在整个教学过程中，积极主动学习，高效掌握新知识。