“教”让道于“悟”——从一节高三复习课谈起
2016-01-06冯涛
“教”让道于悟”——从一节高三复习课谈起
●冯涛(北仑中学浙江宁波315800)
著名数学特级教师孙维刚认为，教师的教学目标应该是：通过知识的教学，培养学生的能力，在能力提高的基础上不断提高学生的素质，造就一个强大的脑子，让不聪明的孩子变得聪明，让聪明的孩子更加聪明.怎么实现这个目标呢？不同的教师对此有着不同的答案，笔者最近参加了在浙江省镇海中学举行的宁波市第9届特级教师带徒研讨会活动，聆听了一堂题为“函数零点问题选讲——选择模型优化解法”的公开课.在这堂研讨课中，教师精选例题，循循善诱，学生热情参与，探究气氛热烈，听课的教师和专家都积极参与了评课研讨，认为教师在教学中激发了学生的探究热情，学生的课堂主体地位得到了充分展现，强调学生在主动探究中的“悟”，并对其他方面也给出了中肯的意见和建议.本文结合这堂课的教学设计谈谈如何实现高三数学复习的有效性，供大家交流切磋.
1教学设计简录
环节1教师在课件中打出中国足球运动员踢球的习惯：一“抢”、二“逼”、三“围”.然后抛出自问自答问题：我们在解题中应该养成什么习惯呢？教师个人认为：一“看”、二“悟”、三“说”，“悟”自始至终贯穿整堂课的核心(引导学生感悟这堂课的思维主线).
环节3看一看.
1.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是
()
A.[-4,-2] B.[-2,0]
C.[0,2] D.[2,4]
(2011年浙江省数学高考理科试题)
2.设a∈R,当x>0时均有
[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，
则a=______.
(2012年浙江省数学高考理科试题)
3.设函数f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R)，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是______．
(2014年浙江省数学高考理科试题)
(2012年天津市数学高考理科试题)
5.函数f(x)=2x|log0.5x-1|的零点个数为
()
A.1B.2C.3D.4
(2013年天津市数学高考理科试题)
6.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______.
(2014年天津市数学高考理科试题)
这个环节是继续在教师的引导下了解高考题目中函数的考查点，目的在于让学生逐渐领悟到本堂课即将讨论函数零点问题.
环节4悟一悟.
教师板书课题“函数零点问题选讲——选择模型优化解法”，并提出一个函数零点问题给学生充分思考分析求解，让学生先行领悟解题当中涉及到的知识和方法，为后续发言准备.
例1已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx在区间(0,2)上有2个不同的零点,则k的取值范围是______.
经过较认真的思考，大多数学生都有了自己的想法，教师在巡视解答后，请学生交流自己的想法.由于授课对象是镇海中学重点班的学生，他们思维活跃，发言积极，主要领悟到以下几种思路：
方法1直接将原函数化归为分段函数结合图像处理：
图1 图2
方法2令f(x)=|x2-1|+x2+kx=0得
|x2-1|=-x2-kx，
分别构造u(x)=|x2-1|,v(x)=-x2-kx，并在坐标系内重新作图像如图2所示.
图3
方法3令f(x)={|x2-}1|+x2+kx=0，得
|x2-1|+x2=-kx,
于是还可以构造u(x)={-kx,}v(x)=|x2-1|+x2.在坐标系内作出图像如图3所示.
方法4在前面函数构造基础上再进一步，可以构造常数函数与分式函数来处理.令
图4
环节5归纳提升.
经过师生、生生探讨，结合多方面画图计算，反复推敲解法，课堂氛围达到高潮.教师在解决问题之后，针对学生的作答，引导学生思考2个问题：
1)在处理函数零点个数问题时，构造函数模型的选择有哪些情形？
学生自主归纳后，领悟到以下结论：在处理函数零点问题时处理方式通常有2种情况:①直接考查y=f(x)的图像与x轴的交点个数;②令f(x)=0，并通过适当变形转化为考查2个函数y=u(x)和y=v(x)的交点个数.并且在数形结合处理函数零点问题时可以构造的函数类别是多种多样的.
2)求解函数零点个数问题时，你又会作出怎样的选择？
受例题影响，大部分学生认为自己会构造2个函数、画图像、处理零点问题，而且其中一个是常数函数时最有利于解题.
环节6选择模型优化解法.
教师肯定了学生对第1)个问题的认识，对第2)个问题的回答显然并不赞同，但是教师没有马上表明自己的观点，而是引导学生继续探索变式问题，进一步让学生自己去感悟.
例2已知函数f(x)=|x2+3x|,若方程{f(x)-}a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______.
(2014年天津市数学高考理科试题)
教师给出问题后，许多学生就开始进行分离参数构造函数模型，大致有以下3种构造方式：
方法1直接构造函数g(x)=|x2+3x|-{a|x-}1|，由于分段函数层次讨论太多，学生思维受阻.
图5
方法3一部分学生构造2个含绝对值的函数：{u(x)=}|x2+3x|，v(x)={a|x-}1|,2者的图像都能方便给出，但是一部分学生只考虑到如图5所示图像中的情形，利用判别式计算出结果为0
环节7说一说.
结合2个例子的研究，教师让学生说说这堂课所获得的感悟，学生总结为遇到函数零点个数问题时需要考虑构造不同的函数模型处理，方法应该多样，不应该固守一种，因题制宜，遇到困境时还要综合运用知识和方法灵活处理,八方联系，紧紧抓住一般方法，以不变应万变.
2关于研讨课的思考
数学教师对课堂教学艺术的追求是永无止尽的，一堂课究竟怎样才算一堂好课.一堂有效的数学课，可谓仁者见仁,智者见智.从教学目标来说，本堂课既回顾了基本初等函数，复习了函数零点以及相关知识点，渗透了数形结合的方法，锻炼了学生的思维能力，激发了求知热情和欲望,总体看是较好地完成了教学任务.从教学组织来看，课堂主线明确清晰，看一看，悟一悟，说一说，简单的三部曲，引领学生一步步登堂入室，从一开始就通过例子“悟”知识点，后来去“悟”数形结合的思想，教师在课堂上自始至终没有提到“数形结合”4个字，但处处用到这个思想方法，目的恐怕就在于让学生自己感悟.教师在教学组织上一直扮演导演角色，将课堂主动权交给学生，这些做法完全符合新课程标准的理念，师生互动、生生互动在课堂上俯拾皆是.例题和习题的处理都交给学生自主探究、讨论、交流并总结归纳提升，课堂氛围融洽，学生思潮涌动,教师话语自然、亲和，课堂充满和谐与智慧，可以说是一堂好的复习探究课.从细节上看，教师例题的选择很典型，从上课效果来看，这堂课里教师有意淡化了自己“教”的痕迹，有意识地锻炼了学生感悟的能力，题目虽然教得不多，但是学生在思维的相互碰撞和交流中升华了课堂的层次，提升了学生思维的批判性和深刻性，达到了较好的复习效果.当然，这堂课如果在开始阶段缩短“看一看”的部分内容，那么学生在“悟一悟”和“反思总结”环节将会有更充分的时间.在这堂课最后的结束语中，教师引用了《老子》里面的名言:“道可道，非常道”，似乎也在表明数学课就应该无时无刻地关注学生“悟”道的过程.
3关于高三复习的思考
众所周知，高三复习时间紧迫，学生负担重，教师需要思考如何设计自己的教学，才能高效率地帮助学生复习.借用孙维刚老师的话说就是：教师要时时刻刻、事事处处站在系统的高度讲授知识，让知识总是以“系统中的知识”的面目出现在学生面前.教师要着眼于知识之间的联系和规律，使学生从系统的高度领悟和把握知识进行思考，做到八方联系，浑然一体，达到浮想联翩、思潮如涌的思维状态.学生在这个过程中有所“悟”，自己获得的鲜活的知识经验远远比教师教会的要记忆深刻，因此应当主张教师跳进“题海”，而彻底把学生从“题海”中解脱出来，把能力和素质提升上去.对于高效的课堂教学，笔者认为应该包含以下3个方面.
3.1蕴知识点和方法于例题，忌简单罗列
在高三复习时，回顾已经学过的知识点和方法是必经环节，但是简单罗列一些已学知识与方法是低效的教学行为.笔者也曾经采取过这样的复习方式，通常这个过程基本没有启发学生的有效思考，更谈不上领悟，属于空洞的教学.回忆知识和方法当然是重要的，但是可以换一个方式进行，应该蕴知识和方法于例题当中，设计好的问题串启发学生在思考中领悟相关知识、弄清概念，在具体的解题实践中和反思中悟到方法和经验，这样的复习才会更加有效果.
3.2精选例题，分析彻底
高三复习课的教学很多都是解题教学，高效的复习就必须要精选例题，题不在多而在于精，要在“一题多解”、“多解归一”、“多题归一”上下工夫.学任何功课都要做题.做题好像是水，水能载舟，也能覆舟.题海战术，就是覆舟之术.精讲巧练，是载舟之术.精，是指教师可选择精彩的少量题目让学生练习.练习中要通过“一题多解”，达到熟练；通过“多解归一”，发掘形式上不同的解法间必然存在的共同本质；通过“多题归一”，总结出一批题目的共同本质，形成普适性的思考规律.这个过程重在学生对方法的领悟，对妙处的感悟.选好例题仅仅是一个方面，另一个方面是用好例题，复习课最忌讳教师一个例题接着一个例题往下讲，好的例题一定要将它用足、用尽，一个简单的函数零点问题或许1~2种方法就能破解，为什么还要延伸出其他解法呢，目的就在于把例题表象之下埋藏的东西充分开掘，把作用发挥到极致，让学生的领悟不断更新和碰撞，在比较中领悟、鉴别方法.
3.3重视反思，归纳总结
波利亚解题第4阶段：“回顾反思”中，我们反思什么？新课标在其十大基本理念中指出，“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，通过典型例子的分析和学生的自主探究活动，使学生领悟到数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法.复习课的教学中，经常通过变式的训练，让学生在某一个问题上看清它的实质，找到易混的概念，并加以区别、辨析.它有助于巩固学生的数学知识，有助于培养学生分析、归纳、解决问题的能力，有助于激发学生学习的兴趣.它能够对例题、习题进行变通推广，让学生对所学知识在不同角度、不同层次、不同情形下重新认识.这种反思使得教师在教学过程中能时刻把握学生的学习过程，帮助学生加深对基本概念的理解、基础知识的巩固、克服错误现象，提高学习效率，优化解题过程，挖掘数学思路，有利于学生观察能力、自学能力、实验能力、思维能力和创新能力的提高.
高三复习的主要任务就是回顾知识，梳理方法，积累解题经验，提高应对能力.每当遇到新情景、新问题时，只要我们勤于反思，总结经验，产生更多解题途径，那么面对考试的时候才会作出最合理的选择，从容应对.
