以学习材料为支点，撬动学生的分析问题能力

宋煜阳

《数学课程标准》在“课程目标”中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能……增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”就具体解决问题步骤而言，无论是问题的发现、提出还是问题的分析、解决，都离不开观察、识别、比较、分析等认知活动的支持。也就是说，分析活动是贯穿整个解决问题过程的，一旦缺乏或中止分析活动，思维链条就会被切断。而分析问题能力，是需要以具体的学习材料为媒介进行历练与培养的。其中，加强学习材料的整体呈现和图形表征，是培养学生分析问题意识、提高学生分析问题能力的有效通道。

一、加强学习材料的整体呈现，提升认知冲击力

与实验版教材相比，人教版教材在修订版中新增了较多的解决问题策略教学内容，教师们普遍感到新教材难度加大，学生困难较多，于是在问题解决中减缓坡度，把原本隶属一个整体的问题分解为若干问题，拾级而上。表面上看，课堂更顺畅了，学生解决问题的正确率提高了。问题是，长此以往学生无形中滋长了对教师的依赖性，削弱了对实际问题的整体判断和独立分析能力、面临困难的受挫性和忍耐力、独立思考的持续力。如同一棵幼苗，长期在温室中成长，在自然环境中生命就脆弱得多。在教学中，要还原教材问题的整体性呈现，让学生经历困境的洗礼，组织学生梳理面临的困难、明确思考的方向，这本身就是分析问题能力的重要训练点。

比如，在六年级上册新增了“用假设法解决问题”，以对话形式呈现信息：“这条道路，如果我们一队单独修，12天能修完”，“如果我们二队单独修，18天才能修完”，给出“如果两队合修，多少天能修完？”的问题。实际教学显示，绝大多数学生第一次面临这个问题，会感到束手无策，此时教师不要急于提供假设思路方法，而是组织学生梳理出“因为这条道路具体长度未知”这一认知拐点，引导学生继续思考，让学生在“如果具体长度知道了该多好”“具体长度不知道又该怎么办呢”的认知>中突中多逗留一会儿，加深对假设策略顿悟的体验。

如果说，上述情形是属于对学习材料整体性“人为破坏”进行复原的话，教学中还要善于在已有典型材料基础上附加材料，由单个（类）材料转为整体性结构材料，通过材料之间的相近性、差异性增强干扰性，促使学生“擦亮眼睛”“细心思考”，提高学习材料的识别、分化水平，从而进一步逼近学习本质的理解。

比如，概念“高”的教学是“三角形认识”一课中的重难点所在。教学中，通常提供水平方向的正例进行概括“高”的概念；也有教师更进一步在水平正例基础上进行旋转变式，再组织学生将不同方位的“高”进行概念分析概括。应该说在这个过程中，学习材料由单一的水平方向扩展到不同方位，学习材料的整体性有所增强。其实这个整体性视角还可以进一步拉大。可以在不同方位变式基础上（图1），增加一组不是“高”的材料（图2），明确告诉学生第二组材料都不是三角形的高，让学生观察分析思考“究竟什么是三角形的高”。这里给出一组正例和一组反例，让学生在“是高”“不是高”的辨别中进行分析，提升学生的分化水平，有效推动了学生分析问题能力的训练。

又如，在“正比例”教学中，教材例题只提供了“文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系（表1）”材料，组织学生观察思考“表中有哪两个量”“总价是怎样随着数量的变化而变化的”“相应的总价和数量的比分别是多少，比值是多少”，从而直接揭示正比例概念。显然，学习材料过于单一，学生对“两种量之间的变化趋势”感知是不够的，缺乏一种识别的冲击力。教学中可以整体性提供一组材料（表一、表二、表三），组织学生进行观察并根据变化趋势分类。

让学生分析得出“表一、表二为一个量随着另一个量的增加（减少）而增加（减少）”，进一步分析表一“正比例”变率的特殊性。这样，通过材料的扩展、干扰，增强了认知冲突力，促发学生萌生分析的意识，为分析问题能力的培养与提升奠定基础。

二、加强学习材料的图形表征，提升自主表达力

美国认知心理学家Simon认为：“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现的，如何表现出来的。”这也就是说，表征是学习者实现自我分析、自我表达的有效手段。常见的表征形式有语言表征、符号表征、图形表征和情境表征等。由于图形表征主要是通过画图方式表达题意和解题思路，有助于直观分析与交流，应成为培养学生分析问题能力的重要训练手段。

对于理解题意的分析，主要表现为两个方面。一方面是将图画、图文、对话形式的信息材料整理成纯文字；另一方面是将纯文字的信息材料转译为图画。随着年级的升高，纯文字形式的信息材料居多，教学中要特别关注从文到图的表征训练。比如，在三年级上册新增了“归总问题”，例题内容为“妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个。用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”，教材安排了运用线段图进行分析题意。测试显示，多数学生能正确列式解答但分析意识和能力很弱。显然，本课教学除了能正确列式解答外，还承载着一个重要教学目标是“让学生学会用线段图整理、分析条件和问题，使问题和条件之间建立直观的数量关系，感知归总问题的结构特点”。而在条件和问题梳理分析中，学生既要解读出“这些钱”总量不变这一关键问题，并在线段图上反映为长度相等，又要用不等长的线段区分出“6元”“9元”价钱不一，在“等长”和“不等长”的图示表达中经常会顾此失彼。如下图（图3、图4）就是表征出现困难的典型：

此时，需要引导学生围绕“整条线段表示什么？”“同样长是反映哪条信息？”“不同样长想表达什么信息？”等一系列问题开展讨论，在图文对照分析中，促发学生对归总问题本质的感知与理解。

分析解答是解决问题步骤中的核心环节，主要涉及数量关系和数学原理的分析。由于数量关系和数学原理相对比较抽象，经常需要借助图示材料予以直观化，让学生清晰地看到分析的依据和过程。依然以“假设法解决问题”为例（一条道路，一队单独修，10天修完；二队单独修，15天修完。两队合修，多少天修完？），当学生发现把这条道路千米数假设为“30”“60”“150”等数据，结果一致，就自然生发出“为什么长度变了，合修的天数不变”的探究需求。在这个寻理分析过程中，有的学生是根据“30÷（30÷10+30÷15）”“60÷（60÷10+60÷15）”“150÷（150÷10+150÷15）”数据的缩放规律分析，有的学生则能发现每天修的千米数和总路长比例是不变的。后者是“理”的本质所在，但需要借助下图（图5）进行直观分析，发现“一队在全长30千米、60千米中每天修的米数占全长的比例始终是1/10，同理二队工作效率为1/15，两队合修天数为1÷（1/10+1/15）”。通过直观的图形表征让学生看到“每天修的千米数和总路长比例不变”，才真正深入理解抽象为单位“1”为特征的工程问题本质。

分析问题，作为一种意识与能力，对其培养与训练既需要“入境”又需要“明理”。教学中，要善于通过学习材料，制造学生认知冲突，产生“知其然”的需求，并在内化表征、直观交流中“知其所以然”，逼近知识本质的分析，从而实现以学习材料为支点撬动学生问题分析能力的有效培养与发展。

责任编辑 曾维平