四阶微分系统广义主次谱之比的下界

黄振明

(苏州市职业大学基础部，江苏苏州215104)

考虑如下四阶微分系统广义谱的估计问题

其中(a，b)R是一个有界开区间，pij(x)∈C2［a，b］，qij(x)∈C［a，b］，wij(x)∈C1［a，b］，且满足pij(x)=pji(x)，qij(x)=qji(x)，wij(x)=wji(x)(i，j=1，2，…，n)，为方便推导，令

利用上述矩阵和向量记号，首先将微分系统(1)写成如下等价的矩阵形式

在推导定理的过程中还需用到如下条件:对任意n维向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T有

上述μi，vi(i=1，2)均为正常数，T表示转置.

微分方程的离散谱问题是微分方程谱理论领域一个重要的研究课题，自从法国数学家Sturm和Liouville提出了有关离散谱函数空间理论之后，谱问题受到了越来越多的关注，特别是近数十年来，许多数学工作者运用Sturm－Liouville理论，对实际问题中产生的单个微分方程(如梁横向振动方程、重调和方程等)进行了谱估计，并取得了一系列成果，有关结论可查阅文献［1－8］，但对于比较复杂的问题，为了更精确地描述它的自然现象，在归结方程时，就必须考虑更多的因素和它们之间的相互作用，其数学模型一般需要用微分方程组来表示。例如，在一定条件下，谐振回路的数学模型就可用四阶微分方程组来表示。为此，笔者讨论上述由任意多个方程构成的方程组(2)的广义谱估计，参照文献［1］的讨论方法，获得了关于问题(2)的主次离散谱之比的下界估计不等式，且其估计系数与区间的几何度量无关，文献［2］讨论的四阶微分方程广义谱问题仅是本文问题(2)当时的特例，因此问题(2)的广义谱估计结果可视为文献［2］结论的进一步推广，在物理学和力学，特别是解决工程技术中的振动问题和稳定性问题时有着一定的参考价值［9－11］，同时，本文的工作对进一步讨论高阶常微分系统乃至偏微分系统的离散谱问题也有一定的启迪作用，主要结果如下.

定理1 设λ1，λ2分别是问题(2)的主、次离散谱，且0＜λ1＜λ2，则有

首先，说明问题(2)的离散谱λ都为正实数，在(2)两端乘u，再在区间(a，b)上积分，利用(3)、(4)和分部积分公式，并利用边界条件，可得

另外，由问题(2)中边界条件和(5)，可得

由(6)和(7)可知，λ为非负实数.

另一方面，λ不会等于零，否则由(6)知，u″=0，可推得u=c1+c2x(其中c1，c2为任意n维常向量)，代入边界条件u(a)=u'(a)=0，即得c1=c2=0，也即u≡0，而这与特征向量为非零向量矛盾，所以λ=0.

设问题(2)的主、次谱分别为λ1和λ2，由上面的讨论知道，它们满足0＜λ1≤λ2，记对应于λ1的特征向量为u，且满足对上式分部积分得

利用(5)和(8)，得

由(6)和(8)，得

从(11)知，φ与u广义正交，且满足奇次边界条件φ(k)(a)=φ(k)(b)=0(k=0，1)，由Rayleigh商的最小化性质可得

利用φ的定义和(2)，计算可得

φ″=(x－q)u″+2u'.

(P(x)φ″)″=(x－q)(P(x)u″)″+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″

(P(x)φ″)″+Q(x)φ =(x－q)［(P(x)u″)″+Q(x)u］+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″=－λ1(x－q)(W(x)u')'+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″.

上式两端同乘φ并在［a，b］上积分可得

另一方面，利用分部积分和恒等式(x－q)u'=φ'－u，可得

根据(13)和(14)，得

由(15)，得

利用(12)和(16)，有

下面估计积分I1+I2+I3的上界和积分的下界.

引理1 设u是问题(2)对应于主谱λ1的特征向量，则

证明 利用式(3)、(5)、(6)、Cauchy－Schwartz不等式和基础不等式有

表15和16给出了LAS及本文方法的迭代过程及设计点处可靠度值。表17给出了本文方法迭代点处的局部采样半径值。可以看出，相较于LAS方法，本文方法每次迭代所需的样本点更少，最终求解也更为准确。

则引理1得证.

引理2 设λ1是问题(2)的主谱，则

证明 利用分部积分和φ的定义，计算可得

通过推算，类似可得

结合(18)、(19)和(20)，有

引理3 对于上述定义的φ与λ1，下列估计式成立

证明 利用分部积分和φ的定义，有

由(22)，可得恒等式

利用(5)、(9)、(10)、(23)和 Cauchy－ Schwartz不等式得

整理上式，即得引理3.

定理1的证明

将引理2的估计结论代入(17)得到

再将引理3的估计不等式代入(24)，经化简整理即得定理1的结论.

注1 特别地，当微分系统(2)中P(x)、W(x)为数量矩阵时，有μ1=μ2，v1=v2，此时，由定理1可得到更简洁的用主谱估计次谱上界的不等式

注2 至于微分系统(2)在其它边界条件下是否有类似定理1的估计结论还有待于进一步研究.

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