解决实数问题中的数学思想方法

杭静

数学思想方法是数学知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解决数学问题的金钥匙，更能使人受益终身.下面我们将解决实数问题中常用的思想方法归纳如下，供同学们学习时参考.

一、 整体思想

整体思想就是在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决.

例1   （2015·四川资阳）已知（a+6）2 =0，则2b2-4b-a的值为_______.

【分析】由（a+6）2和 都是非负数，根据非负数性质可求出a的值和b2-2b的值，视b2-2b为整体代入，即可求出2b2-4b-a的值.

解：∵（a+6）2 =0，由非负数性质有a+6=0，b2-2b-3=0，解得a=-6，b2-2b=3，可得2b2-4b=6，则2b2-4b-a=6-（-6）=12.

【点评】求得b2-2b=3后，也可利用因式分解或配方法求出b的值为3或-1，再分类代入求值，但较复杂，且易出错.这里发现b2-2b与2b2-4b有特殊关系，采用整体代入法，十分简捷，由此足见数学思想方法的巨大威力！

二、 分类思想

在解决实数的有关问题时，常常需要对问题中包含的多种情况进行分类，再按类思考，寻找出完整的答案.

例2   （2014·甘肃白银）已知x、y为实数，且y= 4，则x-y=_______.

【分析】根据算术平方根的被开方数非负，夹逼出x的值，x的值有两个，所以要分类求解.

解：根据被开方数非负有x2-9≥0和9-x2≥0，即x2-9≥0和x2-9≤0，从而x2-9=0，即x2=9，解得x=±3，此时y=4.当x=3，y=4时，x-y=3-4=-1;当x=-3，y=4时，x-y=-3-4=

-7;∴x-y=-1或-7.

【点评】对于算术平方根，被开方数必须非负才有意义，所以如果一对相反数同时为算术平方根的被开方数，那么被开方数为0.

三、 模型思想

在解决实数的有关问题时，常常先要构造非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根等）的和为0的模型，再利用非负数的性质来解决问题.

例3   （1） （2011·四川内江）已知6-3m+（n-5）2=3m-6-，则m-n=_______;

（2） （2011·山东日照）已知x，y为实数，且满，那么x2011-y2011=_______.

【分析】一个方程两个未知数，且已知条件中有非负数，因此构造非负数和为0的模型来求解.

解：（1） 由题意，得m≥3，6-3m≤0，于是原式可化为3m-6+（n-5）2=3m-6-，即（n-5）2+=0，∴n=5，m=3，m-n=-2;

（2） 已知式子可变形为：（1-y）=0，由于被开方数非负，且算术平方根也非负，则只有当都为0时此式才成立，即1+x=0，1-y=0，解得x=-1，y=1，代入到x2011-y2011=-1-1=-2.

【点评】先对已知等式进行变形，构造出几个非负数的和为0的等式，再利用非负数的性质即可解决问题.

四、 数形结合思想

利用数轴上点与实数之间的一一对应关系，由点的位置来判定有关代数式值的符号，再利用得到的结论来解决问题.

例4   （2015·山东枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图1所示，则下列式子中正确的是（      ）.

A. ac>bc B. a-b=a-b

C. -a<-b-b-c

【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可.

解：∵由图可知，a-b，故C选项错误;∵-a>-b，c>0，∴-a-c>-b-c，故D选项正确.综上所述，选D.

【点评】本题考查的是实数与数轴上点所表示的数之间的关系，熟知数轴上各点与实数是一一对应的关系是解答此题的关键.要谨防忽视符号而造成错误.在计算数轴上线段长度时，要注意点的坐标与线段长的互换，谨防“符号病”.

五、 转化思想

转化是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，在研究和解决实数问题时，经常将复杂问题转化成简单问题，将疑难问题转化成容易问题，将未解决的问题转化成已解决的问题.

例5   （2010·山东泰安）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有_______个.

【分析】本题要求无理数的个数，比较复杂.转化一下思考问题的角度，找无理数的个数困难，可先找有理数的个数，分别找出1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数后，则无理数的个数就容易求出了.

解：∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，

∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，

∴无理数有90个;

∵13=1，23=8，33=27，43=64<100，53=125>100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，

∴无理数有96个.

∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个.

【点评】直接求解比较复杂，但如果将确定无理数的个数转化为确定有理数的个数，变复杂为简单，求解就十分简捷了.巧妙地转化帮助我们提高了解题的速度，足见转化的妙用.

（作者单位：江苏省兴化市板桥初级中学）