透视数学中考题中的勾股定理应用

汪丽萍

勾股定理是几何学中的明珠，是解直角三角形重要的定理与依据.它在生活中有着重要的应用，也是中考必考的知识点.它揭示的是直角三角形三边的数量关系，是典型的数形结合思想的体现.下面选取中考题中的几例作简单的阐述，希望对同学们的学习有所帮助.

一、 直接用勾股定理计算

例1   （2015·吉林长春）如图1，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______.

【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE的长.

解：过E作EM⊥AB于M，如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴AB×EM=8，得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，

∴BE2=42+32=25，

∴BE=5.

【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.

二、 勾股定理和逆定理并用证垂直

例2   （2013·内蒙古包头）如图3，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.

【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.

解：连接EE′，如图4，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′，

∴∠EBE′是直角，

∴△EBE′是直角三角形，

∵△ABE与△CBE′全等，

∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，

∴∠BEE′=∠BE′E=45°，

∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，

∴EC2=E′C2+EE′2，

∴△EE′C是直角三角形，

∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.

三、 利用勾股定理解决实际问题

例3   （2015·福建厦门）已知A，B，C三地位置如图5所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_______方向.

【分析】根据勾股定理来求AB的长度.由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，

∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，

∴AB=5（km）.

又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角.这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

四、 利用勾股定理经典图创设问题

例4   （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于_______.

【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE长，即AH的长.

解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100-4=96，

设AE为a，DE为b，即4×ab=96，

∴2ab=96，a2+b2=100，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，

∴a+b=14，∵a-b=2，

解得：a=8，b=6，

∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.

【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣.本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的.本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）