轻松玩“转”勾股定理

沈晓霞

转化是将未知的问题转化为已知的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把复杂的问题转化成简单的问题.勾股定理研究的是平面直角三角形中三边之间的关系，但在学习过程中时常会遇到立体图形上的问题，这时就要考虑到运用转化的思想，把立体图展开成平面图形，再利用平面几何的知识进行求解.

例1   如图1所示，有一根高为2 m的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问小明至少需要准备多长的一根彩带？

【分析】将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图2），可以利用勾股定理求出彩带的长.

解：∵BC为木柱的高，

∴BC=2 m.

又∵木柱的底面周长为0.3 m，

∴AC的长为0.3×7=2.1（m）.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=22+2.12=8.41，=2.9.

因此彩带的长为AB=2.9 m.

【点评】遇到一些空间问题时，可通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法，而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路.

例2  如图3，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径是________cm.

【分析】要求立体图形中的最短路径首先要化曲为直，即将长方体侧面展开成如图4所示，则PA=2+4+2+4=12（cm），两点之间线段最短，利用勾股定理便可解决.

解：PA=2+4+2+4=12（cm），

∵Rt△PAQ中，∠A=90°，

∴PQ2=PA2+AQ2，

∴PQ2=122+52=169，

∵PQ>0，∴PQ=13 cm.

【点评】很多数学新问题往往是通过形或数的逐步转化，化归为一个比较熟悉容易的问题，从而达到解决原问题的目的.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）