实数与近似数错例剖析
2015-12-28杭永根
杭永根
实数概念及其运算是数学的基础知识，它在中考中始终占有一席之地，部分同学在解决这部分问题时常常出现这样或那样的错误，现对常见错误加以收集整理，希望能对同学们有所启发，避免“重蹈覆辙”.
例1 写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于-1的数：_______、_______.
【剖析】本题对写出的数有两个要求：一是有理数和无理数各一个，二是它们都小于-1.错解中前者忽视了第二个要求，后者忽视了第一个要求.
【点评】解答这类开放题，答案不唯一，一定要看清题意，弄清要求，这样才能正确作答.
例2 判断下列各数哪些是准确数，哪些是近似数.
（1） 一双没洗过的手带有80 000万个各种细菌.（ ）
（2） 王明同学的身高为1.62米.（ ）
（3） 杯子里有水30 ml.（ ）
【错解】都是准确数.
【剖析】认为没有“大概、大约、左右”这样字眼的数据就是准确数，没有考虑数据的实际意义，导致错误.
【正解】都是近似数.
【点评】解此类题，不应简单地去找表示近似数的字词，而应仔细读题，理解题目的背景，结合实际意义来确定数据是否近似数.
例3 判断下列说法是否正确，正确的打“？菁”，错误的打“？菖”.
（1） 近似数3 000万和3千万的精确度相同.（ ）
（2） 近似数1.5×104精确到十分位.
（ ）
（3） 长城总长约为6 700 010米，精确到1 000米结果是6 700米.（ ）
【剖析】对于用科学记数法表示的数以为精确到哪一位就是看乘号前面的最后一位;对于带有单位的数考虑了精确到哪个位置，但把后面的数位遗忘掉了，从而导致出错.
【点评】近似数3 000万应该是精确到万位，3千万应该是精确到千万位，对于这类数，不能只看最后一个数在哪个数位，应结合单位来确定精确到哪个数位;1.5×104应是精确到千位，对于这类数可先将数据还原，然后看乘号前面的数最后一位位于还原后的数据中的哪一位，就是所精确到的数位;6 700 010米精确到1 000米的结果应是6 700 000米或者6 700千米，这类数是求整数近似数，不能将精确到的那个数位后面的0省略掉.
例4 有一个数值转换器，原理如图，则当输入的x为64时，输出的y是（ ）.
【错解】当x=64时，算术平方根是8，故选A.
【剖析】输入x后，取其算术平方根，若结果为无理数，则可输出;若结果为有理数，则不可输出，需将这个结果再输入，直至是无理数为止，才可输出.现在输入的x为64时，其算术平方根是8，是有理数，不能作为结果;再输入，其算术平方根是，是无理数，符合要求，可输出.
【正解】选B.
【点评】本题通过数值转换器给出计算程序，考查实数的运算.解题的关键是弄清图形中给出的有关信息，正确判断运算的结果是否符合输出数的要求，若不符合，还需再次输入，直至满足要求后才能输出.
例5 计算：（1）
【错解】（1） 原式=6+8=14;
（2） 原式=13-5=8.
【剖析】符号“”代表开平方，也起着括号的作用，对于这类被开方数是加减运算形式的计算题，要先进行根号内的运算.
【正解】（1） 原式=0;
（2） 原式
【点评】一定要注意
例6 在数轴上找到表示的点.
【错解】∵≈3.16，∴在数轴上表示的点如图1所示.
【剖析】未审清题意，将无理数取了近似数后在数轴上标出大致位置，导致出错.
【正解】在数轴上以3和1为直角边作直角三角形，如图2，则斜边为再以0点为圆心，为半径画弧交数轴于点A，则点A就是数轴上表示数的点.
【点评】解这类题，要先考虑被开方数是哪几个完全平方数的和，例如本题被开方数10等于1和9的和，就能以它们的算术平方根1和3为边构造直角三角形，根据勾股定理可知斜边即为，再借助圆规画弧，在数轴上找到要求的点的位置，解题时要注意保留作图痕迹.
例7 设的整数部分为a，小数部分为b，求（a+b）2+（-b）2的值.
【错解】∵ ≈18.57，∴a=18，b=0.57，
∴（a+b）2+（-b）2=18.572+182=668.844 9.
【剖析】对于无理数的意义认识不够，错将无理数用近似数表示，导致小数部分出错.
【正解】∵182=324，192=361，
∵324<345<361，∴18<<19，
∴a=18，
∴原式=（a+b）2+a2=（）2+182=669.
【点评】对于无理数的估算，先要找出与被开方数最为接近的两个完全平方数，以此确定无理数的整数部分，原数减去整数部分即为小数部分，不能用近似数直接取代无理数.
（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）
