汲取教训，增强免疫

华昭琴

下面对同学们在解决平方根和立方根的有关问题时常犯的错误加以分析，希望同学们能从这些错误中汲取经验教训，不犯或少犯类似的错误.

例1   （2015·湖北恩施）4的平方根是________.

【错解】填2.

【错因诊断】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.错解将平方根与算术平方根混淆了.

【正解】由（±2）2=4，得4的平方根是±2.

【点评】本题考查平方根的概念，掌握“正数的平方根有两个，且互为相反数”是解题的关键.

例2   下列各数有平方根吗？有算术平方根吗？若有，请把它们求出来;若没有请说明理由.

（1） -2;（2） 0 ;（3） -9.

【错解】（1） 2，算术平方根是±;（2） 0既没有平方根，也没有算术平方根;（3） -9的平方根是-3，算术平方根是3.

【错因诊断】（1） 错解直接将平方运算与开方运算抵消了，没有注意到平方数的底数是负数.应先求出平方数，再求平方数的算术平方根;（2） 错解对0的平方根和算术平方根的认识有误，0只有一个平方根，是其本身，规定0的算术平方根为0;（3） 错解认为负数也有平方根和算术平方根，负数的平方根是负数，算术平方根是正数，这是对一个数的平方一定是非负数认识不足.

【正解】（1）（2） 0的平方根为0，算术平方根也为0;（3） -9既没有平方根也没有算术平方根.

【点评】解决这类问题，应首先判别原数的正负性，正数的平方根有两个，且互为相反数;0的平方根和算术平方根都为0;负数既没有平方根也没有算术平方根.对于原数有乘方运算的，切忌直接将底数作为算术平方根，应注意算术平方根一定是一个非负数.

例3   的平方根是_______.

【错解1】5或-5.

【错解2】.

【错因诊断】表示的是25的算术平方根，结果为5，求的平方根就是求5的平方根，不能误认为5的平方根为 是5的算术平方根.

【正解】因为=5，而5的平方根是±，所以的平方根是±.

【点评】要明确平方根与算术平方根的联系与区别，并在此基础上正确运算.另外，要注意认真审题，抓住关键符号与关键词语.

例4   已知=4，=2，求ab的值.

【错解】a=64，b=2，ab=128.

【错因诊断】由=2应该得出b2=4，平方等于4的数应该有两个，是±2而不是只有一个2，这是对=b认识不到位引起的错误.

【正解】∵=4，∴a=64.∵=2，

∴b=±2，∴ab=±128.

【点评】解此类题要注意掌握以下几个性质：特别是后一个，要考虑可能有两解的情况，注意思维的全面性.

例5   下列语句：（1） 负数没有平方根也没有立方根;（2） 一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数;（3） 零的平方根和立方根都是零;（4） 36的平方根是±6，36的立方根是±6;（5） 立方根等于本身的数是0和1.其中正确的有（      ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【错解】A或C或D.

【错因诊断】错解将立方根与平方根混淆了，任何实数都有立方根，且立方根是单值的.

【正解】负数没有平方根但有立方根，（1）不正确;（2）和（3）是正确的;36的平方根是±6，但36的立方根是，（4）不正确;立方根等于本身的数是-1、0和1，（5）不正确;因此，正确的说法有2个，选B.

【点评】要注意平方根与立方根的区别，正数、0、负数都有立方根，且只有一个.

例6   （2010·安徽芜湖）要使式子有意义，a的取值范围是（      ）.

A. a≠0

B. a≥-2

C. a≥-2或a≠0

D. a≥-2且a≠0

【错解】选A或B或C.

【错因诊断】错解分别忽视了算术平方根的被开方数应该是非负数、分母不能为0并且两者要同时成立，应用“且”连接而不能用“或”连接.

【正解】由可知a+2≥0，解得a≥

-2;由知a≠0;要使两者同时满足，则a≥-2且a≠0，选D.

【点评】既要考虑到分子算术平方根的被开方数非负，又要考虑分母不能为0，且两者须同时成立，忽视任何一方面都会出错.

例7   （2009·山东潍坊）一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（      ）.

A. a+1 B. a2+1

C.  D. +1

【错解1】因为数a的算术平方根是，和这个自然数相邻的下一个自然数是+1，故选D.

【错解2】一个自然数的算术平方根为a，所以这个数是a2，和这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是，故选C.

【错因诊断】错解1将“一个自然数的算术平方根为a”理解为“数a的算术平方根”;错解2将求“和这个自然数相邻的下一个自然数”误解为求“和这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根”，都是审题不认真造成的.

【正解】选B.

【点评】认真审题是正确解题的基础.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）