理解实数三注意

2015-12-28孙志兵

初中生世界·八年级 2015年12期

孙志兵

实数是数与代数的重要内容，是学习代数知识的基础.要理解实数的有关知识，关键有三点：

一、正确理解无理数的概念

我们知道，有理数和无理数统称为实数.有理数是我们已经十分熟悉的知识，因此，要理解实数，关键是理解无理数.

无限不循环小数叫做无理数.这个定义告诉我们，无理数有三个特征：一是小数，二是无限，三是不循环的.现阶段，无理数通常可分为三类：（1）开方开不尽的数，如;（2）有特殊意义的数，如π等;（3）有一定规律但不循环的无限小数，如0.202 002 000 2…（每两个2之间依次增加一个0）等.

例1 （2013·四川雅安）在实数，0.101 001 000 1…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（）.

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

【分析】判断一个数的性质，要先化简.

解：，所以本题中的无理数只有π，-2，0.101 001 000 1…（每两个1之间依次增加一个0），故选C.

【点评】解答本题一定要明确无理数的概念，同时要注意像这样的数，尽管带根号，给人以无理数的感觉，但其结果为2，是一个有理数.

例2 下列结论：①无限小数是无理数;②有限小数是有理数;③所有分数都是有理数;④无理数一定是无限小数.正确的有（）.

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

【分析】根据有理数和无理数的概念来逐个判断，对不正确的说法找出一个反例即可.

解：无限小数可能是循环的，如0.333…，也可能是不循环的，如1.414 114 111 4（每两个4之间依次增加一个1），前者是有理数，后者是无理数，所以①不正确;有限小数都可以化为分数，所以有限小数是有理数，②是正确的;所有分数都是有理数，③正确;无理数是无限不循环小数，当然一定是无限小数，所以④正确.选C.

【点评】分数与有限小数和无限循环小数可以进行相互转化，如果把整数看成是分数，则任何有理数都可以写成分数的形式;而无理数则不可以写成分数的形式，这是有理数与无理数的本质区别.在理解无限不循环小数时，要注意“循环”与“规律”的区别，例如，0.202 002 000 2…（每两个2之间依次增加一个0），这里“每两个2之间依次增加一个0”是一种“规律”，而不是“循环”，因此它是无理数;而0.304 304 304…不仅有规律——以“304”为一个“数节”，而且这个“数节”循环出现，即它是以“304”为循环节的无限循环小数，因此它是有理数.

二、灵活运用实数与数轴上点的对应关系

我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的.数轴形象地反映了数（实数）与形（图形）之间的对应关系，实现了“数”与“形”的统一，它可以帮助我们加深对实数有关知识的认识.

例4 （2008·贵州遵义）如图1，在数轴上表示实数的点可能是（）.

A. 点P B. 点Q

C. 点M D. 点N

【分析】先估算的范围，再根据实数与数轴上点的一一对应关系找出相应的点即可.

解：因为32=9，42=16，而9<15<16，所以3<<4，所以在数轴上表示实数的点可能是M，选C.

【点评】利用开平方的逆运算平方，估算出已知实数的大致范围，是解决这类问题的关键.

例5 实数a、b在数轴上的位置如图2所示，化简a+b+=_______.

【分析】由于实数与数轴上的点是一一对应的，因此可从数轴上观察出a、b的符号及a与b的大小，然后进行化简.

解：由图知a<0，b>0，a>b，所以a+b<0，b-a>0，原式=-（a+b）+（b-a）=-a-b+b-a=-2a.

【点评】利用实数和数轴上点的对应关系，看出a、b的符号，a与b的大小，进而得出a+b和b-a的正负性是解题的关键.