如何学好平方根

徐焱

平方根是《实数》这一章中的一个重要知识点，也一直是中考命题的一个热点内容.下面和同学们谈谈如何学好平方根的有关知识，供同学们学习时参考.

一、 学好概念是基础

如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，记做x=± （a≥0）.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记做 （a≥0），0的算术平方根是0. 平方根和算术平方根极易混淆，要弄清它们的异同点，谨防出错.

例1   （1） （2015·湖北黄冈）9的平方根是（      ）.

C. 3 D. -3

（2） （2015·山东滨州）数5的算术平方根为（      ）.

【解析】（1） 根据平方根的定义，因为（±3）2=9，所以9的平方根为±3，选A.或由一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故C、D都不对，又± 的平方根，B也不对，选A;

（2） （ ）2=5，所以选A.或由一个正数的平方根有两个，其中正的那个平方根叫做算术平方根，可知C、D都不对;25是5的平方，B明显不对;所以应选A.

【点评】解决这类求一个正数的平方根或算术平方根的选择题，可以从开平方是平方的逆运算的角度来思考;也可以根据平方根或算术平方根的概念，用排除法来思考.

例2   （2015·四川凉山） 的平方根是（      ）.

A. 9 B. ±9

C. 3 D. ±3

【解析】先求出 的值，再求其平方根.因为 =9，而9的平方根是±3，所以 的平方根是±3，选D.

【点评】不要误认为是求81的算术平方根而选A;还要注意 表示的是81的算术平方根，结果为9，不能误认为9或-9而选B;9的平方根为±3，不能误认为是3而选C.

上述两例告诉我们：准确理解概念是学好数学的前提，因此要重视概念的学习，这样才能提高解题的正确率.

二、 活用性质是关键

平方根具有以下性质：（1） 正数的平方根有两个，它们互为相反数;（2） 零的平方根是零;（3） 负数没有平方根.算术平方根具有两个非负性：（1） 被开方数非负;（2） 算术平方根非负.

例3   （2014·广东茂名）已知：一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4，则a的值是_______.

【解析】由一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到一元一次方程（2a-2）+（a-4）=0，进而解得a=2.

【点评】解答本题要求深刻理解平方根的性质，特别是一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数的和为0.

例4   （2015·江苏南京）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.

【解析】式子 在实数范围内有意义，则  表示的是x+1的算术平方根，根据算术平方根的被开方数非负，可得到x+1≥0，解出这个不等式，即可得到x的取值范围是x≥-1.

【点评】解决这类问题分两步：一是由算术平方根的被开方数非负，得到一元一次不等式;二是解一元一次不等式，得到字母的取值范围.

例5   （2015·四川绵阳）若 +2a-b+1=0，则（b-a）2015=（      ）.

A. -1 B. 1

C. 52015 D. -52015

【解析】因为 ≥0，2a-b+1≥0，而 +2a-b+1=0，根据非负数的性质有a+b+5=0，2a-b+1=0.解得a=-2，b=-3.∴（b-a）2015=（-3+2）2015=（-1）2015=-1，选A.

【点评】一个等式中如果有两个未知数，要求其解，只能智取，不能强攻.本题巧妙运用绝对值的非负性和算术平方根的非负性，分别求出x和y的值，再求代数式的值就容易了.

三、 综合应用是核心

将平方根和算术平方根与其他知识结合，形成难度适中的综合题，是中考命题的一个趋势，因此，在学习中要注意平方根和算术平方根与其他知识的综合应用，提高解决综合题的能力.

例6   （2014·广东广州）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（      ）.

A. x≠1 B. x≥0

C. x>0 D. x≥0且x≠1

【解析】由分子中算术平方根的被开方数非负，得x≥0;由分母不能为0，得x≠1;要同时满足两个条件，则x≥0且x≠1，故选D.

【点评】这是算术平方根与分式知识综合的问题，算术平方根中的被开方数必须非负，分母中的代数式不能为零，否则无意义.当两者同时出现时，解题的策略是分别求出各自的取值范围，再找出其公共部分.

例7   （2014·山东莱芜）已知x=2，y=1是二元一次方程组mx+ny=8，nx-my=1的解，则2m-n的算术平方根为（      ）.

A. 4 B. 2

C.   D. ±2

【解析】由于已知二元一次方程的解，可将其代入方程组中，即可得到关于m、n的方程组2m+n=8，2n-m=1.解方程组求出m、n的值m=3，n=2.再利用算术平方根定义可求出2m-n的算术平方根， =2，故选B.

【点评】此题既考查了二元一次方程组的解法，也考查了算术平方根的概念，其中能够根据二元一次方程组的解求出m、n的值是解答此题的关键.

（作者单位：江苏省兴化市昭阳湖初级中学）