色散媒质二阶时域参量的演绎

色散媒质二阶时域参量的演绎

高本庆

(北京理工大学信息与电子学院，北京 100081)

摘要为了实现色散媒质二阶时域参量的变换,提出将色散媒质二阶参量演绎为时域参量的方法．以德拜媒质水为对象,依据其本构参量和平面波在空气-水分界面上频域反射和透射系数,先建立其频域超越方程式;再依据易于得到的本构时域参量和待求的时域参量建立起其相应的时域超越方程式,对其用迭代方法可演绎出二阶时域参量．通过时-频变换技术已证明方法的有效性．给出演绎过程和技术要点,并对所得结果进行了讨论,展示了因果关系．本演绎技术具有拓展延伸的潜力．

关键词色散媒质；时域参量；迭代

中图分类号O441.4

文献标志码A

文章编号1005-0388(2015)04-0635-05

AbstractTo reach the second order time domain parameter of dispersive medium, a new deduction method is presented. The observed medium is the water of Debye type, where a plane wave is incident upon air-water interface that results in reflection and transmission coefficient in frequency domain. The deduction processes are: the frequency domain transcendental equations of above parameters are first set up; then time domain transcendental equations of above parameters are reached by the transform; based on an iterative process the expected time domain parameters are last found out. In paper the method has been validated. The deduction process and technical points are described. The obtained results are discussed that exhibits causality. It is expected that the deduction method has a potential of extension application.

收稿日期：2014-06-16

作者简介

Deduction of second order time-varying

parameter in dispersive media

GAO Benqing

(SchoolofInformationandElectronics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

Key words dispersive media; time domain parameter; iterative

引言

自然界中,除真空外几乎所有的媒质都具有色散特性．研究媒质色散特性的主要内容之一是考察它在外电磁场作用下的物理机理和本构关系,及电磁波的传播特性．这种本构关系一般是通过媒质的基本电参量表述的．从考察的要点上,媒质及波传播特性,通常是在频域或时域上描述的,这两者间是‘一分为二’的辩证关系,二者可以通过数理分析或测量手段单独获取,也可通过数理分析而相互变换本文在研究德拜型色散媒质水的本构参量和平面波在空气-水分界面上的反射和透射的二阶参量基础上,发展了一种由频域二阶参量演绎出相应时域参量的渐近迭代技术．建立了时域参量的基本方程式,表述了实施演绎的技术要点和实施演绎的过程．并对演绎的结果进行了验证和讨论,表明在由低频至自由偶极取向极化的响应频段107~1010Hz上,所得结果是正确的．

联系人： 高本庆 E-mail：gaobq@bit.edu.cn

和演绎．这方面进展见相关文献[1-4]．

1理论和技术

1.1由本构关系谈起

电磁波与任意媒质作用时,其电场E和磁场H都对媒质的原子产生影响,但对一般媒质电场比磁场的影响大得多．如水根据介质磁化规律[5],水的磁化率很小(-0.9×10-5),故忽略磁场的影响．主要考虑水对电场的响应,可用极化强度P或电位移D来描述外加均匀电场的响应．当外加场是时谐场时,对于德拜型媒质水可用复介电常数描述[1]

ε(ω) =ε′(ω)-iε″(ω)

=εh+(εs-εh)/(1+iωτ).

(1)

式中: εh是高频介电常数， εs是静态介电常数; ω=2πf; τ是弛豫时间．对于媒质水:εh=1.8,εs=81,τ=9.4×10-12,即

(2)

通过拉普拉斯变换,可以得到与式(2)对应的时域式

(3)

式中δ(t)是单位冲击函数(Dirac函数)

回顾电磁波在空气-水分界面上的反射和透射问题．如图1所示,任一时谐波向其分界面入射时,在t≥0时刻,在分界面处,其频域反射和透射系数是如下的经典公式:

图1　平面波向空气-水分界面投射时的反射和透射

1+R=T;

(4)

(5)

(6)

式中: R和T分别是频域反射和透射系数; ε(ω)是色散媒质水的介电常数．

1.2演绎方程式

由频域式(4)、(5)、(6)演绎出相对应的时域反射和透射系数r(t)和t(t)是本文的核心．由于式中出现了本构参量的无理函数形式,使得直接通过频域-时域的变换法演绎出r(t)和t(t)的难度很大．但在得知如下频域到时域变换

(7)

对此式施以拉普拉斯逆变换,并用二频域函数相乘,其对应的时域参量为卷积形式,得

r(t)=esqr(t)-δ(t)-r(t)*esqr(t),

(8)

(9)

其对应的时域是

t(t)=2esqr(t)-t(t)*esqr(t).

(10)

式(8)和(10)是关于r(t)和t(t)的特种超越方程式,可用迭代方法求解(见第2节)．

2实施和验证

对式(8)和(10)施以迭代计算,其实施步骤和技术要点如下:

2.1. 迭代步骤

以求r(t)为例,

1) 生成其初始时间序列r0(i),和esqr(i)序列,i=0,1,…,n;

2) 计算卷积r0(i)*esqr(i),并对所得序列的偶数项采样，i=0,1,…,n;

由于递推算法只有加法运算，而没有乘法运算，因此，该算法具有较高的运算效率。插补计算的初始条件（i=0时）如下式所示：

3) 由式(8)求得序列r1(i),称作1级近似．

重复步骤2)和3)得到2级近似r2(i),以此类推．由式(10)求取t(t)的迭代步骤相似．

2.2几个技术点

1) 关于响应时间序列的长度和间隔

时间的总长度密切依赖于弛豫时间τ的大小．计算表明:时间的总长度应取≥3→5τ,而序列间隔时间取Δt=τ/100．

由于所求的r(t)和t(t)是用式(8)和(10)通过卷积和代数运算的迭代逼近而求得的,众所周知:卷积结果的时间长度等于二序列的长度和减1,这表明:每次迭代将使序列的长度加长近一倍．为方便运算,本文取esqr(i)和r(i)序列的长度均为 1 024=210．每次卷积生成的新序列,仅采样其偶数项序列以代表卷积结果．这样处理,保证了所有时间序列的长度不变．

2) 关于δ(t)的计算,依其定义可得

(11)

本文取Δ=dt/100,dt=τ/100．

关于计算esqr(t)的初始时间,用Δ=dt/100替代初始时间0值．

3) 关于初始时间序列的选取

初始时间序列r0(i)和t0(i)可用具有初始冲击的脉冲,其序列长度是1 024．例如,r0(i)=1×10-3,i=0,1,2,…,1 024．

2.3结果和验证

所得结果r(t)和t(t)示于图2．其中图2(a)表示反射系数随时间步数(步长Δt=τ/100)的变化,其初始跃升很大,即在时间步0~1处由-275×102

(a) 时域反射系数

(b)时域透射系数 图2　平面空气-水分界面上时域反射和透射系数

跃升到-2.5×10-2,后缓慢上升,仍有小的跃变,但趋于0值．图2(b)表示透射系数的变化,其变化规律与反射系数相反:初始跃降由1.2至-4.8×10-2,后缓慢变化趋于0值．二者共同特征是:均有一个初始冲击(大的跃变),后慢变(包括小跃变)趋于0值．

(a) 幅值

(b) 相角 图3　平面波向空气-水分界面入射,其R(t) 的频谱计算值与理论值的比较

为了验证图2(a)的正确性,对其施以拉氏变换并与其理论值比较,结果示于图3．图3(a)和图3(b)分别表示频域反射系数的幅值和相角随频率的变化，由于频率变化需含概多个数量级,故图中横轴是对数标度log10(f)．由图可见,在f<10GHz时计算幅值与理论值几乎完全重合,而达10GHz或略大于10GHz时,二幅值仍吻合较好,幅角差为1度．

再验证t(t)的正确性,同理对其施以拉氏变换,得到T(f)．进一步用式(4)考查|1+R(f)|=|T(f)|是否满足．结果示于图4,可见当f<10GHz时二者几乎完全重合,当f=10GHz或略大时,二者仍相近．

图4　平面波向空气-水分界面入射,其t(t)的频谱 |T(f)|与|1+R(f)|的比较

3讨论和结论

1) 本文是由德拜型色散媒质复介电常数式(2)出发,以平面波在空气-水分界面上的反射和透射的物理量为对象,而开展其时域反射和透射系数演绎的．如追根求源到20世纪初的德拜年代,式(2)是用布朗运动研究自由偶极子取向极化特性而得到的,这类自由偶极子取向极化的响应频段约为107~1010Hz．幸运的是,由本文演绎得出的时域反射和透射特性,在上述频段上与理论值吻合较好．演绎得出时间长度为10个德拜弛豫时间τ的r(t)和t(t)具有明显的初始冲击和局部跃变分布,这种时域特性亦与推演复介电常数式(2)时对激励情况的各种假定相一致,可以认为本文结果是前者的‘推演’．

2) 回到图1和式(4)~(6)．设空气中一时谐波Ei=1eiω t向水面入射,则在分界面两侧的反射和透射波分别是R(ω)eiω t和T(ω)eiω t,即

Er(ω)=R(ω)Ei, Et(ω)=T(ω)Ei.

(12)

所对应的时域关系式为

(13)

令ei=δ(t),则时域反射和透射波可分别表示:

er(t)=r(t)*δ(t)=r(t);

(14)

et(t)=t(t)*δ(t)=t(t).

(15)

这意味着,本文所得的r(t)和t(t)可以看成是单位冲击脉冲入射向分界面所产生的响应．

3) 研究正弦和余弦型波入射向分界面所产生的响应:即

ei=sin(ωt)orcos(ωt);t≥0,

(16)

其透射波可分别表示为

e(t)=t(t)*ei.

(17)

这里的透射波是指分界面上媒质水一侧面上的波．令入射平面波频率和时间步长为

f=8×109Hz(ω=2πf),Δt=9.4×10-14,

由式(14)得结果示于图5．

(a) 总场

(b) 瞬态场

(c) 稳态场 图5　正弦和余弦型波平面波向空气-水 分界面入射,其透射波分布

图5(a)是透射波(总场)分布,其对应正弦余弦波入射的响应均已标注,在时间t=0附近透射波随时间分布均不同于入射波．其余弦入射波的响应尤为明显;大约在t>300Δt时,透射波场分别趋于正弦和余弦分布．该结果与经典电磁场理论是一致的,即场的通解=瞬态解+稳态解．可由所得总场(通解)和稳态场提取瞬态场．图5(b)表示t<300Δt,正弦和余弦型波入射时的瞬态场,可见正弦波入射时的瞬态场比余弦波入射时的瞬态场小得多．需要指出,当两种入射波的幅值为1时,其透射波稳态场的幅值均为0.21(与频域透射波值一致);但两种透射波的零值点相对于其入射波分别移动了37Δt(对应相位5度)．

4) 应当指出,本文解是由迭代逼近得到的,是一种近似解．但多次计算表明所得结果r(t)和t(t)的基本特性(二者随t‘反向’分布,均有初始冲击和局部跃变分布,后趋于0值)不变化,变化仅出现在其频谱的高频段与理论值的逼近程度上．

5) 本文由德拜型色散媒质水的介电常数式出发,初次演绎得出平面波入射向空气-水分界面上的瞬态反射和透射波,并讨论了瞬态分布及其因果关系．可以展望本文的演绎理论和技术具有拓展延伸的潜力．

参考文献

[1]李景德, 沈韩, 陈敏. 电介质理论[M]. 北京:科学出版社, 2003.

[2]苏哈罗夫 Α Π, 维诺格拉多娃M B, 鲁登科O B. 波动理论[M]. 王 珊, 编译. 上海: 复旦大学出版社, 1995.

[3]刘少斌, 刘崧, 洪伟. 色散介质时域有限差分方法[M]. 北京: 科学出版社, 2010.

[4]王彤. 色散媒质的瞬态电磁特性研究[M]. 上海: 上海大学出版社, 2001.

[5]陈治, 陈祖刚, 刘志刚. 大学物理[M]. 北京:清华大学出版社, 2007:495-496.

高本庆(1936-),男，安徽人，北京理工大学教授,博士生导师．主要研究方向为时域电磁场,微波技术,电磁兼容,天线．

段素馨, 张颢, 孙秀志, 等. 基于加权l1最小化的低复杂度波达方向估计算法[J]. 电波科学学报，2015，30(4)：640-646. doi: 10.13443/j.cjors. 2014030402

DUAN Suxin, ZHANG Hao, SUN Xiuzhi, et al. A low complexity algorithm based on the weightedl1minimization for DOA estimation[J]. Chinese Journal of Radio Science，2015，30(4)：640-646. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors. 2014030402