Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的应用

项首先，霍隆兴,昌浩田

云南大学数学系

Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的应用

项首先，霍隆兴,昌浩田

云南大学数学系

本文说明了Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的等价性，并给出这两个定理的两个应用.

变分原理；不动点定理；等价性

1.引言

1972年，Ekeland[1]提出一条变分原理。它的内容为：

定理1.1(Ekeland变分原理)设(X,d)是完备的距离空间，f:X{+∞}是真下半连续泛函且ixnXff(x)＞-∞.又设存在ε＞0和x0X，使得：

f(x0)＜ixnXff(x)+ε。

则对任意的λ＞0，存在x X，满足

这条变分原理有许多应用，其中涉及从控制论到大范围分析等许多领域[2]。

1976年，Caristi[3]发表了下列形式的不动点定理：

定理1.2(Caristi不动点定理)设X是完备的距离空间，T:X X是映射.设f:X{+∞}是真下半连续泛函且若对任意的x X，有：(ii)d(x ,x0)＜λ；

d(x,Tx) f(x)-f(Tx)，

则T在X中必有不动点。

Caristi给出了定理1.2的直接证明后，提及他后来看到Eke⁃land的结果，认为他的定理“本质上”等价于Ekeland变分原理。

1987年，史树中[4]给出了一种Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的等价性的证明，由此我们知道这两个定理是等价的。

通过上面的论述，本文给出两个关于Ekeland变分原理与Ca⁃risti不动点定理的应用。

2.主要结果

为了证明的需要，我们给出引理.

引理2.1设(X,d)是一完备的距离空间，设φ:X R+是具有下界的泛函.T:X X是一个连续映射，且满足下列不等式：

d(x,Tx) φ(x)-φ(Tx)，x X.

则T存在不动点。

引理2.1的证明参考文献[5]中定理2.2的证明。

定理2.1设设(X,d)是一完备的距离空间，f:X {+∞}是下方有界的下半连续泛函，并且不恒等于+∞.则对任何给定的ε＞0及λ＞0，存在xεX，使得：

并且

一般地，若xn已经取出，则下面二者必有其一成立

这样，我们得到了一列点{}xn满足

令n ∞可得到故是Cauchy列.由于X完备，故存在xεX，使得则有

这表明xε满足(2.1)，下面证明xε满足(2.2)。

用反证法证明.假设xε不满足(2.2)，则存在使得

综合(2.4)可得，存在N使得当n N时，有

这说明当n N时结合(2.3)可得

这与(2.5)相矛盾！定理2.1得证.

定理2.2设(X,d)是一完备的距离空间，设T:X X是一个连续映射.若对x X，存在函数ψ:X [a,+∞), a＞-∞，使得

d(x,Tx) ψ(x)-ψ(Tx)

则T有不动点。

证明设x0是X中的任意一点，则我们考虑序列：

xn=Tnx0, n=1,2, .

由定理的条件可知

d(xi,xi+1)=d(xi,Txi) ψ(xi)-ψ(Txi)=ψ(xi)-ψ(xi+1),i=0,1,2, ,

则

定义：

则φ:X [0,+∞)，并且有

即

由引理2.1，定理2.2得证。

[1]Ekeland I,Sur les problemes variationels[M],C.R.Acad.Sci. Paris.1972(275),1057-1059.

[2]Ekeland I,Nonconvex minimization problems[J].Bull.Amer. Math.Soc,1979(1):443—474.

[3]Caristi J,Fixed point theorems for mappings satisfying inward⁃ness conditions[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1976(215):241—251.

[4]史树中.Ekeland变分原理与Caristi不动点定理的等价性[J].数学进展，1987(16):203—206.

[5]徐进，张超.Caristi不动点定理的推广[J].淮南师范学院学报，2003(3):5—6.

表4 教师对学校场地器材是否满足学生开展课外活动统计（N=26人）

教师对学校体育场地器材的满意度，通过调查能看出没有体育教师对学校的体育场地器材满意，有34.4%的老师认为比较满意，有23.1%人认为一般，认为不太满意的占42.3%。

表5 教师对学校体育场地器材的满意度统计（N=26）

尽管学校对于体育设施的经济投入是比较大的，但是就调查的结果来看，老师对学校体育场地器材满意认可度不高。

5 结论与建议

5.1结论

学生参与课外体育活动意识较强，学生参加课外体育活动的动机呈现多样化趋势；学生参加课外体育活动的活动频度比较高和活动时间充裕；学生参加课外体育活动项目选择集中在球类项目上，男生多选择对抗性强的，女生多选择对抗性弱且无身体直接接触的项目；体育教师对学生进行课外体育活动场地器材认可度不高。

5.2建议

积极营造学校课外体育活动氛围，激发学生积极参加课外体育活动中；完善学生体育设施。

参考文献：

[1]林锋.广州市中学开展“阳光体育运动”的现状调查与分析——以越秀区为例[J].广州体育学院学报,2010(30):4 76-80

[2]吉建秋，陈颖川，周强，侯桂明.休闲文化传播对大学生闲暇体育行为的发展研究[J].南京体育学院报：社会科学版，2004(1)：57-60.

[3]谢香道，黄勇.大学生运动休闲参与模式的调查研究[J].成都体育学院学报2003(5)：97-98.

[4]卢元镇.中国体育社会学[M].北京：北京体育大学出版社，2000：220-221.

[5]陈小蓉.学校学生课余体育的主要影响因素[J].中国学校体育，2000(1)：53-54.

伞洪光，（1966-），男，辽宁省锦州市人，本科，现就职于辽宁铁道职业技术学院，任体育部主任职务。