圆锥曲线中的切点弦方程

陈红明

湖北随州一中

圆锥曲线中的切点弦方程

陈红明

湖北随州一中

过平面上一点如果可以作出某圆锥曲线的两条切线，连接两个切点即为此圆锥曲线的切点弦（若为双曲线，需对其同一支作两条切线）。设点P（x0，y0），过点P作出的切线分别为PA、PB，设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），则如何求出切点弦AB所在的直线的方程呢？下面作一简单的归纳和总结。

（一）圆的切点弦的方程

设圆C（C为圆心）的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

即为(y-y1)(y1-b)+(x1-a)(x-x1)=0

变形（y-b+b-y1）(y1-b)+(x1-a)(x-a+a-x1)=0

即为（y-b）(y1-b)-(y1-b)2+(x1-a)(x-a)-(x1-a)2=0

由③④可得lAB：（x-a）(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

特别地：圆x2+y2=r2的切点弦方程为：xx0+yy0=r2

（2）椭圆的切点弦方程

设椭圆C的方程为

(方法一)设lPA：y-y1=k1(x-x1)

故lPA

同理lPB：

将点P（x0、y0）代入⑤、⑥得

由⑦⑧可得

（方法二）设直线L与椭圆两点，设中点为Q（x‘、y'），由点差法易得kmn·

将直线MN平移到与椭圆相切，上述法论仍然成立，此时有

关于点A（x1、y1）对称的椭圆

由⑨-⑩可得下同方法一。

（3）双曲线的切点弦方程

（4）抛物线的切点弦方程：

设抛物线C：y2=2PX(P＞0)

(方法一)设LPA：y=k1(x-x1)+y1

将点P（x0、y0）代入（11）、（12）得

由（13）、（14）可得LAB：yy0=px0+px

(方法二)先求出x2=2Py(P＞0)的切点弦方程

从而得出LPA：x1x=py+py1

LPB：x2x=py+py2

将（15）中的x、y及x0、y0互换，即可得到y2=2Px(P＞0)的切点弦方程。

（方法三）对y2=2Px两边对x求导，得