万变不离其宗

蒋云红

学习数学，最重要的就是灵活运用，“变”才是数学的灵魂.看到“变”，很多同学会产生恐惧，其实我们只要熟练掌握核心概念、定理，抓住其形变而神不变之处，问题就能迎刃而解.下面我们以“勾股定理”这一章中的一道课本例题为例，对它进行一些变式探究.

原题   （苏教版教材八上第86页例1）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子3尺远，问折断处离地面多高？

教材中有详细解答过程，此处不作赘述.

【变式1】一个三角形三边长的比是3∶4∶5，它的周长是60，求这个三角形的面积.

【思路点拨】一般我们看到比例，可设一份为k，则三边分别是3k、4k、5k，根据周长是60，得到k=5，从而三边分别是15、20、25，但要求三角形面积，本题还要用到勾股定理的逆定理.

解：设一份为k，则三边长分别是3k、4k、5k，有3k+4k+5k=60，∴k=5，

∴三边的长分别是15、20、25，

又∵152+202=625，252=625，

∴152+202=252，

∴ 它是直角三角形，斜边长为25.

∴它的面积是15×20=150.

答：这个三角形的面积是150.

【说明】变式1已知的是三边比例关系，若要求面积，一般三角形则必须求出一边及该边上的高，若特殊一点可运用勾股定理的逆定理说明这个三角形是直角三角形，问题也能迎刃而解.

【变式2】如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以BD为折痕，将梯形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点A1.

（1） 求证：BE=DE;

（2） 若AB=2，AD=3，BC=5，求△CDE的面积.

【思路点拨】

1. 图形中出现了角平分线（折叠出现了角相等）、平行线，容易得到等腰三角形;

2. 找到合适的直角三角形，巧用勾股定理，用方程思想求解.

解：（1） ∵折叠，∴∠ADB=∠BDA1，A1B=AB=2，A1D=AD=3，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，

∴∠BDA1=∠DBE，∴BE=DE.

（2） ∵折叠，

∴A1B=AB=2，A1D=AD=3，∠A=∠A1=90°.

在Rt△A1BE中，设BE=DE=x，则A1E=3-x，

根据勾股定理得，x2=（3-x）2+22，

【说明】折叠前后的两个图形是全等图形，对应边、对应角相等，另外还要注意多观察图形，找到合适的直角三角形，利用勾股定理列方程求边长.

【变式3】如图4所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长.

【思路点拨】现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，考虑到三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.

解：连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.

∵∠BAC=90°，AD为△ABC的中线，

∴AD=DC=DB.

∵AB=AC，AD为△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∴∠BAD=∠B=∠C=45°.

∵∠EDA+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF.

∴△AED≌△CFD（ASA），∴ AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

EF 2=AE 2+AF 2=52+122=132，∴EF=13.

【说明】通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中，再用勾股定理求解.

我们在练习过程中若能有意识地进行变式拓展训练，通过对例题、习题进行多角度、多层次的演变探究，使一道题变成一类题，一类题变成多类题，在不同角度、不同层次、不同背景下构建对勾股定理的认知，定能提高分析问题、解决问题的能力.

（作者单位：江苏省常州市翠竹中学）