高斯束展开法的注记之二:简单支撑矩形换能器声场*

鲍冬禺，丁德胜

(1．河海大学物联网工程学院，江苏常州213022;2．东南大学电子科学与工程学院，南京210096)

BAO Dongyu1，DINGDesheng2*

(1．College of Internet of Things(IOT)Engineering，Hohai University，Changzhou Jiangsu 213022，China;2．School of Electronic Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

声波和电磁波的一些辐射或衍射问题可归结于菲涅尔(Fresnel)场积分(可看作Rayleigh-Sommerfeld积分的一种近似)的求解。例如，超声换能器辐射声场;激光束经过光阑或孔径后的光场分布。然而，在大多数情况下，这一公式是一个二维的、强烈振荡的积分，没有解析形式的解。声场分布通常只能用数值积分或级数展开来计算，计算十分复杂。

高斯束(一般也称基函数或高斯函数)展开方法已广泛应用于快速计算菲涅尔场积分，即声场分布的计算。这种方法的实质是将菲涅尔场积分展开为一系列简单的基本函数的叠加，因而复杂的振荡积分简化为一些简单函数(如 Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函数等)且项数不多的计算［1－5］，计算量大为降低［1－27］。有关这一方法的详细论述可以参考综述文献［27］。

在无损检测、医学诊断等超声应用中，超声相控阵或相控阵(线阵或面阵)的单元所辐射的声场往往可以用带无限大障板的矩形活塞声场来近似描述或模拟［28－31］。许多情况下，需要详细计算媒质中声压分布，以了解相控阵或超声换能器的性能，如声束的指向性、主瓣束宽等。与圆形活塞声场［32］的研究相比，矩形换能器声场的研究结果相对要少一点。

我们给出高斯函数展开法的一系列推广［33－35］。文献［35］中以圆形或矩形函数的高斯函数近似展开作为已知的结果，通过傅里叶或贝塞尔变换，可以将余弦函数表示成高斯函数的叠加。从而菲涅尔场积分可以简化成一系列简单的代数函数的求和。本文将应用这一方法，计算边缘简单支撑(Simply-Supported)的矩形活塞换能器声场分布。与复杂的解析解计算结果相比，我们的方法给出了十分一致的

1 菲涅尔场积分

假定时谐振动的声源或超声换能器位于直角坐标系z=0平面上，用u(x'，y')代表声源表面法向振动速度或声压分布，且假设带有无限大刚性障板，则其他区域的分布可规定为零。

在菲涅尔近似或旁轴近似下，归一化的声压分布可表达为菲涅尔场积分:

式中，λ表示波长，传播因子exp［－i(ωt－kz)］已省略［10－11，30］。采用无量纲变量

S与声源的面积大小有关，可将方程(1)写成结果。本文的方法是文献［33－35］研究结果的一种直接推广，作为我们一系列研究报告的一部分。

我们假定一矩形超声换能器的中心位于坐标原点，源分布可表示为

记号a、b为换能器的半长度和半宽度。进一步假定源函数 u(x'，y')是可分离的，即可以写成［30］u(x'，y')=u1(x')u2(y')，且有关系 u1(x')=u1(－x')和u2(y')=u2(－y')，即所谓的对称矩形声源［30］。现在采用无量纲变量(2)且令S=ab(矩形面积的1/4)，则这类对称矩形声源的分布函数可以写成

由式(3)，矩形换能器声场可表示为

上面的积分具有相同的形式。方括号中的项记为X，必要时，可以加上另外一些记号以示分别。很显然，X实际上代表一维声源辐射的声场分布，例如，(无限长的)长条形声源。其中δ=b/a为矩形换能器的半宽度与半长度之比。另外，矩形函数(Rectangle functions)定义为

2 高斯束展开

这里简要介绍 Wen和 Breazeale经典工作［4－5］。他们原来的研究中，给出了圆形轴对称声场的简化计算方法。其中关键步骤是将源函数(只含一个变量，即径向坐标)展开成项数很少的高斯函数之和。Wen和Breazeale的一个特别重要的结果是对均匀圆形活塞声场进行高斯束展开。数学上，这一结果意味着圆形函数(Circle functions)

可以近似分解成一系列高斯函数之和，即

其中的展开系数Ak、Bk可以通过最优化或其他方法得出。已发表的4 组数据Ak、Bk见文献［4 －5，19，26］，文献［22］也列出了文献［5］的数据。这些数据的精度和应用已为许多例子而证实［4－5，7－20，22－23，26，33－34］。很显然，上面的矩形函数(7)可以用相同的系数来表示

以下我们把近似展开式(9)、式(10)作为已知结果，并应用于矩形换能器声场分布的简化计算。

在文献中［35］，我们通过对式(9)和式(10)进行傅里叶或贝塞尔变换，得到余弦函数的一个高斯函数展开

式中额外的一项－1/2是人为加上去的。若不加上这一项，已发表的4组数据［4－5，19，26］无一能较准确拟合余弦函数。加上了这一项，当且仅当采用用文献［26］中表1所列的数据，在区间0～25上可以拟合得很好。为什么出现这一怪异情况，我们也不知道。

3 方法和结果

在对称矩形声源情形下，源函数u1和u2是偶数次幂多项式(或偶函数，如余弦函数)。例如u1(ξ')=1 代表均匀的活塞声源;u1(ξ')=1 － δξ'2表示在边缘ξ'=±δ－1/2处简单支撑的活塞声源，等等。将式(10)和式(11)一起代入式(6)，可得声场展开函数［20，33，35－36］G2n或 G(ν)，下标 2n=2ν+1。

例外情形 bN+1，j=B'j－i/η，只须令表达式中的第一项等于0，即1/BN+1→0或ξ=0即可。

现在我们应用本文的方法研究几种典型的矩形换能器声场分布，并与解析公式比较。均匀矩形活塞的结果已有许多文献给出［28－30］。这里给出一些更为复杂的例子，以说明我们方法的优越性。

第一个例子是边缘简单支撑SS(Simply-Supported)活塞声源的声场分布。一些实际应用的场合下，超声换能器和相控阵单元所辐射的声场可能更加接近这一情形［1－2，31－32］。但计算分析很少，这也是我们举这个例子的一个原因。其声源分布函数［32］:

声场展开函数可以直接写成:

式(6)中的X为

对应于 X1(ξ，η)，Bj'= δBj;而在 X2(ζ，η)中，相应的 Bj'=δ－1Bj，式(14)或式(15)中的 δ改成 δ－1，变量ξ变成ζ。归一化的声压分布则可由式(16)来计算。

如同均匀矩形活塞情形，简单支撑矩形活塞声场分布在菲涅尔近似下也有解析解。经过十分繁琐的推导可得

其中F(z)=C(z)+i S(z)为复数菲涅尔函数(一种在衍射理论中十分重要的特殊函数)这里只写出了沿ξ或x方向的声场分布，沿ζ或y方向的分布 X2(ζ，η)，只须用 δ－1、Δ－1、ζ代替式(17)中相应的 δ、Δ 和 ξ。

现在，我们用2种方法来计算简单支撑矩形活塞声场。图1为轴上归一化声强分布。确切地讲，应当称之为归一化声压幅度的平方分布，即式(1)或式(3)中的|u(0，0;η)|2。可见，现在方法所得结果与直接根据计算解析方法所得结果相当一致。

图1 简单支撑矩形活塞换能器沿轴上的声场分布

图2为不同截面上沿横向方向的声压幅度分布。图2也画出了根据解析公式(17)的计算结果。除了极靠近声源的近场区域η≤0．1z0，有一些差异。2种方法所得结果符合很好。

图2 不同轴向距离的横向声场分布(在x－z平面内)

有关本文方法优点的详细说明和讨论参见文献［20，27，33，35］。这里我们指出该方法的另外一个优点——形式化。换句话说，若源函数的形式已知，即可写出场展开函数的形式。例如，四边钳定(clamped at the edges)的矩形活塞声源函数

其中u1即

立即可以写出它的场展开函数

实际上，场展开函数中G的下标与源函数中的幂次是一一对应的。边缘钳定矩形活塞声场的解析解也可以用类似于(17)的、但更加复杂的公式来表示。这里我们就不给出2种方法所得结果的比较了。

4 结语

我们给出了高斯函数展开法的一种推广。将圆形函数或矩形函数的的高斯展开作为已知结果，通过简单的数学变换，余弦函数可表示成高斯函数的叠加，因而菲涅尔场积分可以简化成一系列简单的代数函数的求和。我们利用这一方法，计算了简单支撑矩形活塞超声换能器声场分布。与直接计算特殊函数值相比，现在的方法给出了十分一致的结果。

最后我们指出，菲涅尔场积分表达式(1)出现在光学、电磁场传播(涉及波的衍射或传播问题)等物理和工程应用中。本文的方法或改进的方法依然可以用来处理这些问题。

［1］ Cook B D，Arnoult W JⅢ．Gaussian-Laguerre/Hermite Formulation for the Nearfield of an Ultrasonic Transducer［J］．J Acoust Soc Amer，1976，59:9．

［2］ Cavanagh E，Cook B D．Gaussian-Laguerre Description of Ultrasonic Fields-Numerical Example:Circular Piston［J］．JAcoust Soc Amer，1980，67:1136．

［3］ Thompson R B，Gray T A，J，et al．The Radiation of Elliptical and Bicylindrically Focused Piston Transducers［J］．J Acoust Soc A-mer，1987，82:1818．

［4］ Wen J J，Breazeale M A．A Diffraction Beam Field Expressed as the Superposition of Gaussian Beams［J］．J Acoust Soc Amer，1988，83:1752．

［5］ Wen J J，Breazeale M A．Computer Optimization of the Gaussian Beam Description of an Ultrasonic Field［M］．Computational Acoustics;Scattering，Gaussian Beams and Aeroacoustics，Vol.2，edited by Lee D，Cakmak A，Vichnevetsky R(Elsevier Science，North Holland，1990):181 －196．

［6］ 丁德胜，林靖波，水永安，等．活塞式超声换能器声场的一种解析描述［J］．声学学报，1993，18:249．

［7］ 丁德胜，陆祖宏．活塞类声场的简化算法［J］．声学学报(增刊)，1996，21:421．

［8］ Ding D S，Liu X J．Approximate Description for Bessel，Bessel-Gauss and Gaussian Beams with Finite Aperture［J］．JOpt Soc A-mer，1999，A 16:1286．

［9］ Spies M．Transducer Field Modeling in Anisotropic Media by Superposition of Gaussian Base Function［J］．J Acoust Soc Amer，1999，105:633．

［10］ Zhang Y，Liu JQ，Ding D S．Sound Field Calculations of Elliptical Pistons by the Superposition of Two-Dimensional Gaussian Beams［J］．Chin Phys Lett，2002，19:1825．

［11］ Ding D S，Zhang Y，Liu J S．Some Extensions of the Gaussian Beam Expansion:Radiation Fields of the Rectangular and the Elliptical Transducer［J］．J Acoust Soc Amer，2003，113:3043．

［12］ Ding D S，Zhang Y．Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．J Acoust Soc Amer，2004，116:1401．

［13］ Ding D S，Xu JY．The Gaussian Beam Expansion Applied to Fresnel Field Integrals［J］．IEEE Trans UFF，2006，53:246．

［14］ Ding D S，Shui Y A，Lin JB，et al．A Simple Calculation Approach for the Second Harmonic Sound Field Generated by an Arbitrary Axial-Symmetric Source［J］．J Acoust Soc Amer，1996，100:727．

［15］ Ding D S，Lu Z H．A Simplified Calculation for the Second-Order Fields Generated by Axial-Symmetric Sources at Bifrequency［C］//Proc of the 14th Inter Symp on Nonlin Acoust．edited by R.J.Wei，1996:183．

［16］ Ding D S．A Simplified Algorithm for the Second-Order Sound Fields［J］．J Acoust Soc Amer，2000，108:2759．

［17］ Ding D S，Zhang Y．A Simple Calculation Approach for the Second-Harmonic Sound Beam Generated by an Arbitrary Distribution Source［J］．Chin Phys Lett，2004，21:503．

［18］ Ding D S．A Simplified Algorithm for Second-Order Sound Beams with Arbitrary Source Distribution and Geometry(L)［J］．JAcoust Soc Amer，2004，115:35．

［19］ Kim H J，Schmerr L W，Sedov A．Generation of the Basis Sets for Multi-Gaussian Ultrasonic Beam Models—An Overview ［J］．JAcoust Soc Amer，2006，119:1971．

［20］ Ding D S，Tong X J，He PZ．Supplementary Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．J Acoust Soc Am，2005，118:608．

［21］ Prange M D，Shenoy R G．A Fast Gaussian Beam Description of Ultrasonic Fields Based on Prony’s Method［J］．Ultrasonics，1996，34:117－119．

［22］ Huang D，Breazeale M A．A Gaussian Finite-Element Method for Description of Sound Diffraction［J］．JAcoust Soc Am，1999，106:1771－1781．

［23］ Sha K，Yang J，Gan W．A Complex Virtual Source Approach for Calculating the Diffraction Beam Field Generated by a Rectangular Planar Source［J］．IEEE Trans Ultrason，Ferroelec，Freq Contr，2003，50:890 －897．

［24］ Matar O B，Rernenieras J P，Bruneel C，et al．Patat:Ultrasonic Sensing of Vibrations［J］．Ultrasonics，1998，36:391 －396．

［25］ Fox P D，Cheng J，Lu J Y．Fourier-Bessel Field Calculation and Tuning of a CW Annular Array［J］．IEEE Trans Ultrason，Ferroelec，Freq Contr，2000，49:1179 －1190．

［26］ Liu W，Yang J．A Simple and Accurate Method for Calculating the Gaussian Beam Expansion Coefficients［J］．Chin Phys Lett，2010，27:124301

［27］丁德胜，刘晓峻，黄锦煌．高斯束展开法在计算菲涅尔场积分中的应用［M］//中国声学进展．程建春，田静．北京:科学出版社，2008:55－68．

［28］ Freedman A．Sound Field of a Rectangular Piston［J］．J Acoust Soc Am，1960，32:197 －201．

［29］ Marini J，Rivenez J．Acoustical Fields from Rectangular Ultrasonic Transducers for Nondestructive Testing and Medical Diagnosis［J］．Ultrasonics，1974，12:251 －256．

［30］ Mast T D．Fresnel Approximations for Acoustic Fields of Rectangularly Symmetric Sources［J］．JAcoust Soc Am，2007，126:3311－3322．

［31］ Duxbury D J，Russell JD，Lowe M JS．Accurate Two-Dimensional Modeling of Piezo-Composite Array Transducer Elements［J］．NDT＆E International，2013，56:17 －27．

［32］ Greenspan M．Piston Radiator:Some Extensions of the Theory［J］．J Acoust Soc Am，1979，65:608 －621．

［33］ Dai Yurong，Ding Desheng．Further Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．Chinese Physics Letters，2012，29:024301．

［34］章力军，丁德胜．高斯束展开法的注记:指向性和辐射阻抗的简化计算［J］．电子器件，2013，36(6):789－792．

［35］ Ding D，Lu H，Shen C．A Novel Algorithm for the Sound Field of Elliptically Shaped Transducers［J］．Chin Phys Lett，2014，31:64301．