基于Root－ISM算法的宽带非相干信号DOA估计

郭亚萍，陈建春，彭金龙

(西安电子科技大学电子工程学院，陕西西安 710071)

宽带信号的DOA估计一直是阵列信号处理领域的重点和难点，由于其相对带宽和绝对带宽都较宽，在雷达目标识别、雷达低仰角跟踪等方面都有重要应用。因此，在高分辨估计中，越来越需要更准确、更快速地估计空间宽带信号源的波达方向及其空间分布。目前，对宽带非相干信号的DOA(Direction of Arrival)估计，主要有两类方法:最大似然法(Maximum Likelihood Method，MLM)和信号子空间方法(Signals Subspace Methods，SSM)。最大似然法估计是一种非线性最优化算法，但其运算复杂，运算量较大，而且要求已知信号源个数及信号源功率谱密度矩阵，因而限制了它的应用［1－2］。信号子空间方法又主要有TOPS方法和信号子空间非相干处理方法(Incoherent Signalssubspace Method，ISM)。TOPS［3］方法和在其基础上改进的 TOFS［4］方法等［5］是一类比较新的非相干信号子空间方法，但其仅在中等信噪比下有较好的估计性能。

ISM算法［6］作为一种经典的宽带非相干信号DOA估计算法，其主要思想是将宽带信号在频域划分为若干个窄带信号，然后使用MUSIC算法进行各窄带的DOA初估计，再通过对这些初始估计的组合得到最终估计结果。由于MUSIC算法需要进行空间谱谱峰搜索，本身计算量大，所以需对多个窄带作MUSIC谱估计的ISM算法的计算量将更大。为提高速度，减少计算量，人们研究了许多改进算法。当天线是均匀线形阵列时，求根MUSIC算法(Root－MUSIC)具有良好的性能和计算效率。

本文将Root－MUSIC算法运用于宽带非相干信号子空间估计算法(ISM)中，简称其为Root－ISM算法，并从两个方面来改进Root－ISM算法:(1)结合最大能量频点选择算法来减少计算量，提高估计精度。(2)结合子带能量加权算法来提高低信噪比下的估计性能。

1 宽带信号模型

本文采用的阵列为均匀线阵，阵列参数为阵元数为M，阵元间距为d。设有个远场宽带信号源，信号的波达方向角为θp(p=1，2，…，N)，定义为信号入射方向与阵列法线方向的夹角。信号的带宽为B，则第m个阵元的接收数据为

其中，sp(t)为第p个信号的时域表示;τmp表示第p个信号到达第m个阵元时相对参考阵元的时延。

为了估计各个窄带上的协方差矩阵，需要把时域观测信号变换到频域。将观察时间T0分为K个子段，每段时间为Td，对每段数据进行J点的离散傅里叶变换(DFT)，就可以得到如下的宽带信号模型

其中，Xk(fj)，Sk(fj)，Nk(fj)分别对应第个快拍中频率fj处的M×1维接收数据、N×1维信号和M×1维噪声的 DFT 变换，k=1，2，…，K，j=1，2，…，J。J 表示将带宽为B的信号划分为J个子带，即式(2)对于不同的频率点f1，f2，…，fJ有J个等式成立。式(2)中

2 Root－ISM算法

宽带信号DOA估计中的ISM算法是基于经典MUSIC算法的，它首先将宽带数据分成不重叠的多个子频带，再将每个子频带用经典MUSIC算法实现初始角度估计，对其进行算数平均得最终估计结果。Root－ISM算法不采用需要谱峰搜索的经典MUSIC算法，而是对每个子频带采用Root－MUSIC算法以求根的方式得到每个子带的DOA初估计，最后再进行组合得到最终的DOA估计结果。

ISM算法根据式(2)在每一个频点上用个频域快拍来估计多个目标的方位。对于空间理想的白噪声，且噪声功率为σ2，频率fj处对应的接收数据协方差矩阵可以表示为

其中，X(fj)=［X1(fj)，X2(fj)，…，XK(fj)］，S(fj)=［S1(fj)，S2(fj)，…，SK(fj)］，N(fj)=［N1(fj)，N2(fj)，…，NK(fj)］，RS(fj)和 RN(fj)分别为频点 fj处的信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。对其进行特征分解，得

其中∑ =diag(［λ1，λ2，…，λM］)，并且满足

其中，大特征值 λ1＞ σ2(q=1，2，…，N)对应的特征向量构成信号子空间 Us=［e1，e2，…，eN］，小特征值 λq=σ2(q=N+1，N+2，…，M)对应的特征向量构成噪声子空间 Un=［eN+1，eN+2，…，eM］。

令C=UnUHn，并令第 j子带对应的矩阵 C为 Cj，由于对于一个阵元间距为d的均匀线形阵列，第j个子频带的方向矢量的第m个元素(m=1，2，…，M)可以表示为

那么第j子带的空间谱函数的分母可以写为

其中，Cjmn是矩阵Cj的第m行n列上的元素。将上式化简为

在没有噪声的理想情况下，空间谱的极点即式(10)的零点落在单位圆上，位置由波达方向决定，即z=zp= zpexp［i arg(zp)］处产生窄带MUSIC谱的一个波峰，此时有

式中，θpj是第j个子带极值zp对应的波达方向的初始角度估计;θj为第j个子带的DOA估计结果，即

算术平均意义下的波达方向角即为

即最终的波达方向角。

3 Root－ISM的两种改进算法

3.1 加权Root－ISM(Root－WISM)算法

ISM算法是针对非相干宽带信号的DOA估计算法，其采用子带平均的方法来利用宽带信息，而宽带信号的能量通常分布不均匀，将其分成的若干窄带往往有着不同的信噪比。Root－ISM算法是利用求根取代了ISM算法的谱峰搜索，所以Root－ISM算法亦不能避免这一问题。低信噪比的子频带可能对宽带信号的高分辨DOA估计产生较大偏差。因而采用这种简单的平均不能充分利用信号的能量，本文提出的一种改进算法是按照子带能量加权来代替子带的简单平均。新算法既能改善原ISM算法在低信噪比下的估计性能，又具有Root－MUSIC的降低计算量的优势。

Root－ISM算法是对J个频点的DOA估计结果以等权平均的方法进行处理，即

加权Root－ISM算法对各个子频带的DOA估计结果进行加权，对于能量较大的子频带赋予较大的权重，能量小的子频带赋予较小的权重，即

其中，Wj为第j个子带的能量。式(14)的含义是:某子带上的能量占总能量的比重越大，此子带上估计的结果占最终空间谱估计的比例也越大，即能量越大的子带其估计的可信度越高，能量越小的子带其估计的可信度越低。

Root－WISM算法的步骤为:(1)将接收数据矩阵在时域上分为K段，对每段数据做DFT。(2)计算频点fj的K个快拍的总能量Wj。(3)据式(4)得频点fj的接收数据协方差矩阵RX(fj)，由式(10)构造多项式Dj(z)，得相应的θj。(4)将步骤(2)中求得的Wj作为权值，根据式(14)得最终的DOA估计值θ。

3.2 基于最大能量频点选择的Root－ISM

由于Root－ISM算法和ISM算法都需要对各个频率点的自相关矩阵进行特征分解，计算量很大，而且由于宽带信号的能量分布不均，所分成的子频带往往具有不同的信噪比，低信噪比的频带很可能会对DOA估计结果产生影响，所以这两种算法还有估计精度不高的缺陷。

最大能量频点选择算法［8］的基本思想是对所分成的多个子频带计算能量，取能量值最大的频带和频点，并由此频带数据估计出波达方向角。基于最大能量频点选择的Root－ISM算法的具体步骤:(1)将接收数据矩阵在时域上分为K段，对每段数据做DFT。(2)计算频点fj的K个快拍的总能量Wj，取Wj值最大的子带j0所对应的协方差矩阵RX(fj0)和频率值fj0作为接收数据协方差矩阵和信号频率。(3)对RX(fj0)进行特征分解，根据式(10)构造相应的多项式 Dj0(z)。(4)根据式(11)和式(12)求出相应的角度即作为最终的DOA估计值。

4 仿真实验

仿真条件:3个非相干宽带信号源，中心频率相同，相对带宽为40%，分别以 －20°、0°和20°入射到均匀线形阵列上。阵列参数为:8个阵元，阵元间距取为最小波长的一半。进行100次Monte Carlo仿真实验，比较文中各种算法的估计性能。

4.1 ISM算法与Root－ISM算法性能对比

图1为信噪比从－15 dB以步长3 dB变化到15 dB时，ISM算法和Root－ISM算法的均方根误差性能。

图1 ISM和Root－ISM算法的均方根误差性能

由图1可见，Root－ISM算法除了计算量上有所减少之外，其在信噪比－15～15 dB范围内的估计精度整体也好于ISM算法。

4.2 Root－ISM与Root－WISM算法性能对比

图2为信噪比从－15 dB以步长3 dB变化到15 dB时，Root－ISM算法和Root－WISM算法的均方根误差性能。

图2 Root－ISM和Root－WISM算法的均方根误差性能

由图2可见，在较低信噪比下，Root－WISM比Root－ISM有更低的均方根误差;而高信噪比下，两者的均方根误差性能相当，即Root－WISM在低信噪比下的性能明显优于Root－ISM。

4.3 Root－ISM与f－Root－ISM算法性能对比

图3为信噪比从－15 dB以步长3 dB变化到15 dB时，Root－ISM 算法和 f－Root－ISM 算法(即基于最大能量频点选择的Root－ISM算法)的均方根误差性能。

图3 Root－ISM和f－Root－ISM算法的均方根误差性能

可见，f－Root－ISM算法的性能在高信噪比时要好于Root－ISM算法，较低的信噪比下(＜－12 dB)，Root－ISM算法的性能好于f－Root－ISM算法。因而在高信噪比下，f－Root－ISM能有效改善DOA估计性能。

5 结束语

本文将Root－MUSIC算法运用于ISM算法中，有效提高了DOA估计的精度，仿真表明Root－ISM算法整体优于ISM算法。在Root－ISM算法的基础上，又提出了两种改进算法，即Root－WISM算法和f－Root－ISM算法，两种算法各有优势，仿真表明Root－WISM算法在低信噪比下的估计性能优于Root－ISM算法，而f－Root－ISM算法在高信噪比下的估计性能要优于Root－ISM算法。

［1］ 黄可生，周一宇，张国柱，等．基于Krylov子空间的宽带信号DOA 快速估计方法［J］．宇航学报，2005，26(4):461－465．

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［4］ 于红旗，刘剑，黄知涛，等．一种新的宽带DOA估计方法［J］．信号处理，2009，25(1):118 －121．

［5］ 张进．一种新的宽带信号DOA估计算法［J］．电路与系统学报，2012，17(6):70 －75．

［6］ 王永良，陈辉，彭应宁，等．空间谱估计理论与算法研究［M］．北京:清华大学出版社，2004．

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