概率论方法在高等数学解题中的应用

周绍伟， 刘洪霞

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)



概率论方法在高等数学解题中的应用

周绍伟， 刘洪霞

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

摘要：概率论作为一个数学分支，有其独特的思维模式和方法，有时可以巧妙地用于解决其他学科中的某些问题.通过几个例子说明了概率论方法在高等数学解题中的应用.

关键词：概率论方法；高等数学；随机变量；概率模型

0引言

概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门学科.它的许多思想和方法可以用于求解高等数学问题，在提供新解法的同时也将大大简化解题过程.本文通过几个例子说明概率论方法在高等数学中的应用.这种学科间的相互渗透，不但使学生加深了对知识的掌握，而且能激发他们的学习兴趣，从而提高学习效率.

1利用概率模型求解高等数学问题

证明构造一个广义几何分布模型.

独立重复地进行试验，设第n次试验成功的概率为pn(0

P(X=n)=(1-p1)(1-p2)…(1-pn-1)pn，

且

由泊松分布的可加性知，n个独立且服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊松分布，故

X=ξ1+ξ2+…+ξn，

其中，ξ1,ξ2,…,ξn独立同分布，ξi～π(λ),i=1,2,…,n，当n→∞时，可由中心极限定理来进一步考虑.

解设ξ1,ξ2,…,ξn为独立同分布的随机变量，且ξi～π(λ),i=1,2,…,n，即

由中心极限定理，对任意的x，有

而

故

中心极限定理揭示了产生正态分布的源泉，是应用正态分布解决各种实际问题的理论基础，因此中心极限定理的意义远远超过了概率论的范围.

2利用随机变量的数字特征求解积分

正态分布和指数分布是两类重要的连续型随机变量，它们不但在概率论中有着广泛的应用，而且利用其性质可以求解某些特殊的积分.下面通过两个例子来说明.

分析利用分部积分法可以直接计算，但是比较麻烦，由于积分中含有e-(2x+1)，通过转化可以整理成含有e-λx的形式，再利用指数分布的数学期望与方差公式以及密度函数的性质进行计算.

解利用服从参数λ=2的指数分布的随机变量X的性质求此积分.

另外，利用二维正态分布可以计算某些特殊的二重积分.

由ρ=0知X,Y相互独立，所以Z=X-Y～N(0,1).

3利用概率论方法证明不等式

分析该题是高等数学教材中的习题[2].考虑到积分区间为[a,b]，这道题可以用服从均匀分布的随机变量的性质证明.

分析构造适当的概率分布，用性质[E(X)]2≤E(X2)证明.

4结论

本文通过几个例子说明了概率分布、中心极限定理、随机变量的矩等概率方法在解决级数、极限、积分、不等式等问题时的应用.笔者发现，应用概率论方法求解高等数学问题的关键，在于根据题目的特点构造适当的概率模型，进而利用模型的性质进行求解，这些方法时常会达到事半功倍的效果，既深化了对概率论知识的理解，又拓宽了高等数学的解题思路.

参考文献

[1]张德然.概率论思维论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004:53-54.

[2]同济大学应用数学系编.高等数学：上册[M]. 6版.北京:高等教育出版社,2002:270.

[3]熊桂武.概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报:自然科学版,2003,20(4):88-90.

Application of Probability Method in

Higher Mathematics Problem Solving

ZHOU Shao-wei, LIU Hong-xia

(CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Abstract:As a branch of mathematics, probability has its unique thought pattern and method, and sometimes it may ingeniously be used to solve certain problems in other discipline. The application of probability method in higher mathematics problem solving is shown by several examples.

Key words:probability method; higher mathematics; random variable; probabilistic model

中图分类号：O211.9;G642.0

文献标识码：A

文章编号：1007-0834(2015)02-0060-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.016

作者简介：周绍伟(1979—)，女，山东泰安人，山东科技大学数学与系统科学学院副教授，博士，主要研究方向：随机系统最优控制.

基金项目：山东科技大学教育教学研究“群星计划”项目(QX2013265)

收稿日期：2014-10-08