《微分方程数值解法》课程建设的实践与探讨

李莹

摘要：本文探讨了微分方程数值解法课程的建设过程。从课程建设的总体思路、教学内容优化、教学方式方法改革和考核制度的完善等方面阐述了微分方程数值解课程的建设情况。实践表明，运用多元化的教学模式并加强实践教学，可以培养学生的动手能力、创新能力和解决实际问题的能力。

关键词：微分方程数值解;课程建设;教学实践

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）20-0126-02

一、课程建设的总体思路

1.建设指导思想。在微分方程数值解法教学中，适当引入数学应用软件（如Matlab）做到理论性与应用性相结合;根据微分方程数值解法教学的自身特点，发挥微分方程数值解法教学在培养学生素质和提高学生能力方面的作用;加强以数学建模及数学软件应用为核心的微分方程数值解法应用教学，努力把微分方程数值解法建设成“应用型”课程，努力探索微分方程数值解法教学和计算机相结合的新路径，提高学生解决实际问题的能力。

2.建设目标。微分方程数值解课程建设的目标是通过课程建设和改革，探索出适用于我校信息学院信息与计算科学专业的微分方程数值解的教学内容和教学方法，提高教学质量，使学生能够掌握微分方程数值解的基本思想、概念和方法。培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，使学生掌握微分方程数值解法的基础，有较宽的应用数学知识面;培养学生分析问题和解决问题的能力以及数学建模的能力;培养学生的自学能力和创造力。

3.建设内容。微分方程数值解法课程建设的内容主要包括以下几方面：①根据我院信息与计算科学专业的定位，制定新的教学大纲，确定教学内容，对课程教学内容和体系进行优化。②根据微分方程数值解法课程特点，探索新的行之有效的教学方法，对课程教学方法、手段进行研究和改进。③对讲课、实验、考试等教学环节的组织与实施课程进行规范化的管理等。

二、教学内容的分析与优化

（一）教学内容的分析

根据我院信息与计算科学专业学生的特点以及专业培养计划对该课程3学分的规定，在教学大纲重新修订时，我们设置了40学时理论讲授和16学时实验。教材选择了由东南大学出版社出版，戴嘉尊、邱建贤编著的《微分方程数值解法》，该教材难度比较适中。该教材设计的讲授时间约为70学时，为了在较短的时间内向学生展现微分方程数值解法的概貌，同时保证他们在今后的学习和科研工作中能够做到举一反三、灵活运用，授课教师对课程内容作了一定的取舍并有所侧重，使得教学内容趋于全面且突出重点，力求突出经典算法的构思和具有特色的误差分析理论。突出讲授那些最常用的、重要的、实用的、有代表性的算法，而对那些原理相近的内容只加以引导和提示，不片面追求列举所有可能用到的算法。

（二）教学内容的优化

1.理论教学内容的优化。该课程讲授的内容主要分为常微分方程的数值解法和偏微分方程的数值解法两部分，其中偏微分方程的差分方法是课程教学的重点。在讲常微分方程初值问题的数值方法部分时，从简单到复杂，从一般到特殊，先讲最简单的一阶Euler单步法的构造思想和基本概念，再讲较复杂的单步高阶Runge-Kutta法以及线性多步法等的基本概念和基本理论。该章安排10个学时，其中Euler法是常微分方程数值解中的重点，该方法虽简单，却包含了本课程将研究的几乎所有内容，甚至可以说“一通百通”。而本章的另外两种经典方法：Runge-Kutta法和线性多步法可看成对Euler法的推广。如此一来，教学内容的组织条理清晰，学生在学习过程中也不会显得被动。偏微分方程数值法部分主要讲解有限差分法，其中包括抛物型方程的差分方法、椭圆型方程的差分方法以及双曲型方程的差分方法三个章节。这三个章节我们分别安排12学时、10学时和8学时的讲授。具体安排见表1。

2.实验教学内容的优化。微分方程数值解课程的理论性很强，为了化简难点，便于学生能够正确理解教材内容，微分方程数值解课程设置了16学时的实验课。实验类型分为基础性实验和综合性实验，其中基础实验包括用Euler法、线性多步法和Runge-Kutta法计算常微分方程初值问题的数值解、热传导方程初边值问题的差分模拟、Laplace方程第一边值问题的差分模拟等。综合性实验包括用龙格—库塔方法求解实际问题、古典隐式差分格式求解抛物型方程初边值问题、五点差分格式求解波动方程混合问题等。

基础性实验的计算结果验证数值格式的合理性，引导学生通过调整参数（如步长等）验证数值格式的相容性、稳定性和收敛性等性质。在综合性实验中，通过指导学生利用所学的理论和方法解决实际问题，训练其数学建模的能力和应用微分方程数值解的数值方法编程能力，以及分析、归纳总结问题的综合能力。

三、教学方法、手段的探索

1.多元化的教学模式。在教学方面，根据微分方程数值解课程的内容多而难，算法、定理繁而杂的课程特点，采用“课件+板书+计算机动态演示”的课堂教学模式。课堂教学以讲授为主，提问、讨论等多种方法同时进行，根据不同的教学内容，有意识地尝试不同的教学方式，将多种不同的教学形式进行优化组合，调动学生主动思考的积极性，通过引导培养他们观察问题、发现问题和解决问题的能力。

2.Matlab软件辅助教学。MATLAB软件具有强大的科学计算、图形显示和程序设计功能，MATLAB软件处理矩阵容易，绘图可视化轻松，编程简洁。在教学中适当地使用MATLAB软件，展示计算机解决实际问题的动态过程和手段，实现抽象内容的数值模拟、可视化和动态化，解决现有教材和黑板教学不能实现的复杂计算问题，使教学内容直观、生动。这种做法不仅可加大课堂容量，提高教学效率，而且可用图形和动画等表现形式吸引学生的注意力，增添课程的趣味性与实用性。不但能使学生对课堂的讲授内容加深理解，而且也会培养学生利用计算机处理实际问题的能力。

四、考核制度的完善

课程的考核是一个很重要的教学环节，它不仅是检验学生掌握所学知识程度的方法，也是考查学生分析问题、解决问题能力的手段。微分方程数值解课程的考核采用平时成绩、实验成绩和理论成绩相结合的课程考核方式。平时成绩占10%，主要考查学生作业的完成情况和平时的课堂考勤等内容;实验成绩占40%，主要考查学生的实践动手能力，检查学生利用程序设计语言和计算软件解答题目的能力以及学生报告撰写的完备性;理论成绩占50%，采用开卷考试的形式，主要考查学生对基本概念、理论、方法及常用计算公式的掌握情况，以计算题型为主，用经典算法对题目做计算，并保证具有一定的计算量。

五、结语

通过以上微分方程数值解课程的建设和实践，基本解决了微分方程数值解课时少与教学内容多的矛盾，提高了教学质量，但是该课程教学方法与教学手段改革尚需进一步深化，课程内容还需进一步调整和优化。在今后的教学实践过程中，根据我院信息与计算科学专业学生的定位，将进一步推进该课程的改革和建设，使我院微分方程数值解的教学更具特色。

参考文献：

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