伴随矩阵的性质及其应用

张平平

摘要：伴随矩阵在矩阵中占有重要地位，因此，总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。本文就是带着这个目的出发，首先总结一下伴随矩阵的性质，然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。

关键词：伴随矩阵；逆矩阵；行列式

中图分类号：O151.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0195-02

设n阶方阵A=

a的行列式A的各个元素的代数余子式A所构成的如下矩阵：A=称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。这个定义可以在文献[1]中找到。由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很容易得到下面的性质：（A）=（A），其中，A表示矩阵A的转置矩阵。由于矩阵kA的（i，j）元的代数余子式为：

（-1）=

kA，因此，（kA）=kA.

由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：AA=AA=AE （1）

其中E为n阶单位矩阵。

若n阶方阵A是非奇异的，即A≠0，此时矩阵A是可逆的。由（1）得A=A=E

结合逆矩阵的定义，有A=，

即A=AA，其中A表示矩阵A的逆矩阵。

若n阶方阵A是非奇异的，此时矩阵A是可逆的，由（1）得A=A=E

由矩阵逆的定义知：（A）= （2）

同时对（1）两边同时取逆，根据逆矩阵的性质有：（A）A=

即有（A）= （3）

结合（2）、（3）得到伴随矩阵的如下性质：（A）=（A）

若对（1）两边同时取行列式，由行列式的相关性质可得：A

A=A

E=A （4）

对于（4）式，若A≠0，则有

A=A

若A=0，由（1）得，AA=O （5）

此時假设

A≠0，则矩阵A可逆，在等式（5）两边同时右乘（A）得A=O.

由伴随矩阵的定义得A=O，从而有

A≠0矛盾，于是有，若A=0必有

A=0.居于以上分析，我们很容易得到下面的性质：

A=A.

设矩阵A为一n阶方阵，现总结其伴随矩阵的性质如下：

（1）（A）=（A）；（2） （kA）=kA；（3） AA=AA=AE； （4）

A=A.

此外，若A还是可逆矩阵，则有如下性质成立：

（5）A=AA； （6） （A）=；

（7）（A）=（A）.

下面举例来说明伴随矩阵性质的应用。

例1：设A为4阶方阵，A=，求

3A

-4A。

解：由伴随矩阵的性质（5）得，3A+2A=3×AA-4A=-3A，从而有

3A

-4A=

-3A=

3A=3

例2：设A为4阶方阵，且A的伴随矩阵的行列式

A=8，求

A

+A。

解：由伴随矩阵的性质（4）得A=

A=8，从而有A=2；再结合性质（5）得：

A

+A=

+A=（）

A=.

例3：设A为n阶方阵，证明A+（A）是对称矩阵。

证明：由性质（1）得：（A+（A））=（A）+（（A））=（A）+（（A））=（A）+A=A+（A）.

从而，A+（A）为对称矩阵。

以上是伴随矩阵一些非常基本的性质，只有掌握这些最基本的性质，才能探讨其更深层次的性质。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：38.

[2]同济大学数学系.线性代数附册学习辅导与习题全解[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：52.