向量组的线性相关性证明方法初探

张玉平+董昌州

摘要：向量组的线性相关性是线性代数中一个非常重要的概念，判断给定向量组尤其是分量没有具体给出的向量组的线性相关性是学生学习的一个难点。将证明向量组线性相关性的方法串联起来，是学生解决这类问题的关键。

关键词：线性代数；向量组；线性相关性

中图分类号：G642 文献标志码：C 文章编号：1674-9324（2015）16-0201-02

向量组的线性相关性理论是线性代数理论的重要组成部分，它贯穿于线性代数课程的始终，线性代数中许多重要概念都离不开它，是线性代数教学的重点与难点。学生在初学这一概念时常常感到不易理解，尤其是遇到有关向量组线性相关性的证明，更是一头雾水，我们的教材中按照知识结构的顺序，先后介绍了若干种可以证明向量组线性相关性的方法，比较零散，对学生来说不易于整体把握，知识串联不起来，导致做题时无从下手，这里我们将判断向量组线性相关性的一些常用方法进行总结归纳。

一、利用定义

设有向量组A：a■，a■，…，a■，如果存在不全为零的数λ■，λ■，…，λ■，使λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0，则称向量组A是线性相关的。否则，称它是线性无关的。

例1：设b■=a■，b■=a■+a■，…，b■=a■+a■+…+a■，且向量组a■，a■，…，a■线性无关，证明：向量组b■，b■，…，b■线性无关。

证明：利用定义。假设k■b■+k■b■+…+k■b■=0，则根据定义，只需证明k■=k■=…=k■=0即可，由条件有：

k■a■+k■（a■+a■）+…+k■（a■+a■+…+b■）=0，即

（k■+k■+…+k■）a■+（k■+…+k■）a■+…+k■a■=0，

因为向量组a■，a■，…，a■线性无关，因此必有：k■+k■+…+k■=0k■+…+k■=0……k■=0，所以k■=k■=…=k■=0，证毕。

利用定义证明向量组的线性相关性是最直接、最基本的方法。

二、利用齐次线性方程组的解来判断

根据定义，要判断向量组的线性相关性只要判断表达式λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0中的系数λ■，λ■，…，λ■是全为零或是不全为零即可。因此，当齐次线性方程组λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0只有零解时，a■，a■，…，a■线性无关，非零解时，a■，a■，…，a■线性相关。

例2：设向量组B：b■，b■，…，b■能由向量组A：a■，a■，…，a■线性表示为（b■，b■，…，b■）=（a■，a■，…，a■）K，其中K为s×r矩阵，A组线性无关，且R（K）=r，证明：B组线性无关。

证明：只需证明Bx=0这个齐次线性方程组只有零解x=0即可，由于B=AK，所以AKx=0，因为A组线性无关，因此AKx=0这个齐次线性方程组只有零解Kx=0，而R（K）=r，因此Kx=0这个齐次线性方程组只有零解x=0，证毕。

三、利用矩阵的秩

由于判断齐次线性方程组解的情况，可以利用系数矩阵的秩来判断，即向量组a■，a■，…，a■线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=（a■，a■，…，a■）的秩小于向量的个数m，向量组a■，a■，…，a■线性无关的充要条件是它所构成的矩阵A=（a■，a■，…，a■）的秩等于向量的个数m。

例1还可用此方法证明：根据条件有

（b■，b■，…，b■）=（a■，a■，…，a■）？摇1 ？摇？摇1 ？摇… ？摇1？摇0 ？摇？摇1 ？摇… ？摇1… … … …？摇0 ？摇？摇0 ？摇… ？摇1，记作B=AK，由于K≠0，所以K可逆，由于向量组a■，a■，…，a■线性无关，所以R（A）=r，因此R（B）=r，证毕。

在这种情况中，如果向量的个数与向量的维数相等的话，则可以利用方阵A的行列式来判断，因为此时对应的齐次线性方程组的方程个数与未知量的个数相同，即可以利用克拉默法则。

我们知道等价的向量组有相同的秩，因此还可以利用向量组的等价性来判断。

四、利用向量组的等价性来判断

例3：设a■，a■，…，a■是一组n维向量，已知n维单位向量e■，e■，…，e■能由它们线性表示，证明：向量组a■，a■，…，a■线性无关。

证明：由于任意n维向量组都能由n维单位向量e■，e■，…，e■线性表示，而由已知，n维单位向量e■，e■，…，e■又能由a■，a■，…，a■线性表示，因此a■，a■，…，a■与e■，e■，…，e■等价，即R（a■，a■，…，a■）=R（e■，e■，…，e■）=n，证毕。

以上我们将证明向量组线性相关性的常用方法串联了起来，只要牢牢掌握住判断向量组线性相关性与判断所对应的齐次线性方程组是否有非零解是等价的这条主线，那么所有判断齐次线性方程组是否有非零解的方法都可以用到判断向量组线性相关性上。

此外，反证法也是我们证明向量组线性相关性的一种常用方法。

五、利用反证法

例4：若向量β可由向量组a■，a■，…，a■线性表示且表示式唯一，证明：向量组a■，a■，…，a■线性无关。

证明：利用反证法。假设a■，a■，…，a■线性相关，则有不全为零的数k■，k■，…，k■使得k■a■+k■a■+…+k■a■=0 （1）

又向量β可由向量组a■，a■，…，a■线性表示，设表示式为β=l■a■+l■a■+…+l■a■？摇 （2）

（1）+（2）得，β=（k■+l■）a■+（k■+l■）a■+…+（k■+l■）a■

由于k■，k■，…，k■不全为零，即k■+l■，k■+l■，…，k■+l■与l■，l■，…，l■是两组不全相等的数，说明β有两种不同的表示法，这与向量β可由向量组a■，a■，…，a■线性表示且表示式唯一、矛盾，所以a■，a■，…，a■线性无关，证毕。

六、利用已知命题直接判断

1.包含零向量的向量组必线性相关。

2.两个向量线性相关则对应分量成比例。

3.当m>n时，m个n维向量一定是线性相关的。

4.若向量组A：a■，a■，…，a■线性相关，则向量组B：a■，a■，…，a■，a■也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。

5.若向量组a■，a■，…，a■线性相关，则该向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示；反之向量组a■，a■，…，a■线性无关，则任一向量都不能由其余向量线性表示。

线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，题目综合性与灵活性都较大，以上我们介绍的这些方法在具体做题时通常并不是孤立使用的，同学们在平时学习时一定要注重串联、衔接与转换，不断地总结经验与教训，及时地对知识进行归纳总结，做到融会贯通。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.线性代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].第二版.武汉：华中科技大学出版社，2004.

[3]黄先开.线性代数题型归纳与练习题集[M].世界图书出版社，2006.endprint