讲解“线性代数与空间解析几何”时常见问题

李晶+冯立康+孔婷婷

摘 要： 对于理工类专业的大学生来说，“线性代数与空间解析几何”是一门极其重要的数学基础课程，这门课程不仅包含的内容比较多，而且整本书的逻辑性与抽象性非常强.因此，学生在学习“线性代数与空间解析几何”的过程中经常会遇到各种问题，为了更深入地理解这门学科，本文从以下三个方面进行讲解：定理中“充要条件”的深入理解；向量组的线性相关性；特征值与特征向量的概念及性质的灵活应用.

关键词： 线性代数 充要条件 线性相关性 特征值与特征向量

一、引言

“线性代数与空间解析几何”这门学科的教学目的是培养学生的能力，比如空间联想、抽象思维、创造性思维、逻辑思维和自学等，而培养这些能力的前提条件是先让学生理解基本概念和掌握基本理论，学会分析问题、解决问题的基本方法；最主要的是能够充分了解各部分知识的结构及其内在联系；充分利用所学基础恰当地进行推理证明，快速计算；充分将所学知识运用到解决简单的实际问题中.但是在教学过程中，经常有学生反映“线性代数与空间解析几何”这门学科内容的层次太多，学起来比较难，找不到内容的核心，更不能将所学知识联系起来.为了解决这一问题，下面我们将结合教学经验，阐述“线性代数与空间解析几何”这门学科中常见的问题，针对这些问题给出几点建议.

二、知识体系

“线性代数与空间解析几何”这门课程的知识网络是：行列式，矩阵及相应的运算，向量、向量空间及欧式空间，线性方程组（分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组），特征值和特征向量的相关内容，相似矩阵，二次型等.这门课程实际上是将代数与几何融为一体，具有数形结合的特点，代数为几何做铺垫.与此同时，代数又在原有几何空间的基础上进行了拓展，课程重点在“线性代数”上.“线性代数”研究的核心内容是讨论线性方程组何时有解；若有解，讨论其解是否唯一；若解不唯一，那么讨论其解的结构并研究方程组的解法.这门学科中之所以包含其他内容，是因为其他内容为解方程组提供了便利.行列式作为常用的数学工具，为解方程组做了铺垫——克拉默法则，但是克拉默法则本身又具有一定的局限性：它只能解决含有n个方程n个未知数的线性方程组解的问题.为了能更好地解决线性方程组的有关问题，我们又引入了矩阵的知识，进而了解了矩阵的初等变换，而矩阵的初等变换为解决线性方程组提供了非常便利的条件.那么在教学过程中，对于“线性代数与空间解析几何”这门学科来说具体有哪些问题呢？下面将一一列举.

三、“线性代数与空间解析几何”中常见的问题

1.定理中“充要条件”的深入理解

数学学习过程中，“充要条件”经常会出现在各种题型中，尤其是在一些证明题中.“充要条件”包含了两层含义，一个是充分性，一个是必要性，“充要条件”的证明实际上是一个双向证明的过程，这对大多数学生来说并不难理解，但是，由于对这一定义理解得不够透彻，导致学生在证明“充要条件”的过程中容易混淆充分性及必要性的证明方向.本文将从定义、证明、性质及其对应的应用等方面阐述“充要条件”的深层含义.

四、结论

本文重点介绍了“线性代数与空间解析几何”教学中遇到的几个常见的问题，主要集中在三个方面：对定理中出现的“充要条件”字眼的深入理解；对向量组的线性相关性的讨论；特征值与特征向量的概念及其性质的灵活应用.“线性代数与空间解析几何”是一门基础学科，在各种代数分支中占据首要地位.由于这门学科比较抽象，学生普遍抓不住重点，多数同学只是掌握了代数方面的计算方法，却忽略了这门学科的基础概念和性质的应用，以及它们的内在联系和用途.要想真正学好数学，对定义和定理的深入剖析至关重要.

参考文献：

[1]于朝霞，张苏梅等.线性代数与空间解析几何（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.

[2]徐荣.《线性代数》课程学习技巧探讨.中国教创新导刊，2011（2）：27-28.

[3]马柏林，邓爱珍.线性代数与解析几何.科学出版社，2001.