软半环的软同态和软商半环

朱宽云，詹建明

( 湖北民族学院 数学系，湖北 恩施445000)

在1999 年，Molodtsov［1］介绍了软集的概念，这可以看作是一种新的数学工具来处理不确定性问题．随后，软集理论不断发展，有些学者将其应用到代数结构上．Jun［2］介绍和研究了软Bck/BCI 代数．后来，Acar［3］提出软环的定义并且给出软环的一些性质．在文献［4－5］中，Liu 已经在软环上建立了三个同构定理和模糊同构定理，随后，Feng［6］介绍了软半群的软同态和软商半群．后来，Xin［7］将同余关系作用到环上，研究了环上的软同余关系，并建立了几个软同构定理．本文主要介绍半环上的软同余关系，并且通过软同余关系来构造商结构，刻画几个软半环的软同构定理．

1 预备知识

定义1［8］令(F，A)和(G，B)分别是半环S和T上的两个软半环，令f:S→T和g:A→B是两个函数，如果满足下面的几个条件，那么序对(f，g)称作软半环同态．

1)f是半环上的满同态;2)g是满射;3)对于所有的x∈A，f(F(x))=G(g(x))．

如果在(F，A)和(G，B)之间存在一个软半环同态，那么说(F，A)对(G，B)软同态化，表示为(F，A)～(G，B)．更近一步，如果f是半环上的同构，g是双射，那么称(f，g)是软半环同构．在这种情况下，说(F，A)对(G，B)软同构化，表示为(F，A)⋍(G，B)．

例1 表示ℤ 和Zn分别是整数半环和模n的整数半环．令f:ℤ →Zn是一个自然映射，对于所有的x∈ℤ ，定义为f(x)=［x］．很明显，f是半环上的满同态．令ℤ+是所有正整数的集合，定义一个映射为g:ℤ+→Zn，对于所有的x∈ℤ+，g(x)=［x］，很容易验证g是满射．令(α，ℤ+)是ℤ 上的软集，这里α:ℤ →P(ℤ )是一个极值映射，对于所有的x∈ℤ+定义为α(x)= 3xk|k∈Z}

{

．很容易验证对于所有的x∈ℤ+，α(x)=3xℤ 是ℤ 上的子半环．因此(α，ℤ+)是ℤ 上的软半环．令(β，Zn)是Zn上的软集，这里β:Zn→P(Zn)是一个极值映射对于所有的［x］∈Zn定义为β(［x］)= ［3xk］|k∈Z}

{

．很容易证明(β，Zn)是Zn上的软半环．更进一步，对于所有

的x∈ℤ+，因为并且，得到f(α(x))，因此(f，g)是软半环同态并且

2 软商半环和软同构定理

定理1 令(σ，A)是半环S上的软同余关系，对于，那么对于α∈A，S/σ(α)在下面的二元运算下是一个半环．

这里x，y∈S．

证明 首先验证上面的二元运算是定义合理的．对于所有α∈A，a，a'，b，b'∈S，首先考虑［a］σ(α)=［a'］σ(α)，［b］σ(α)=［b'］σ(α)．因此(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，根据半环同余的定义，立即可以得到(a+b，a+b')∈σ(α)，(ab，ab')∈σ(α)，因此［a+b］σ(α)=［a'+b'］σ(α)，［ab］σ(α)=［a'b'］σ(α)，现在很容易验证S/σ(α)是一个半环．

令σ 是半环S上的同余关系，(F，A)是半环S上的软半环，把(F，A)/σ 表示为(K，A)，对于所有α∈A，K(α)= ［a］σ:a∈F(a)}

{

．因为F(α)是半环S上的子半环，很容易知道K(α)是S/σ 的子半环．因此(F，A)/σ是S/σ 的一个软半环．

定义1 令(F，A)和(G，B)分别是半环S和T上的两个软半环，令(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，把ker(f，g)定义为半环S上软二元关系(δ，A)，对于所有α∈A，

命题1 令(F，A)和(G，B)分别是半环S和T上的两个软半环，如果(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，那么ker(f，g)是(F，A)上的软同余关系．

证明 因为(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，由定义f:S→T是半环上的满同态，g:A→B是满射，并且对于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．把软关系ker(f，g)写为(δ，A)，对于所有的α∈A，δ(α)=(kerf)|F(α)．因为kerf是半环S上的等价关系，容易知道对于所有的α∈A，δ(α)是子半环F(α)上的等价关系．更近一步，假设(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，那么f(a)=f(a')，f(b)=f(b')，因此有:

这表明(a+b，a'+b')∈δ(a)，(ab，a'b')∈δ(a)，因此对于所有的α∈A，δ(α)是F(α)上的同余关系．故ker(f，g)是(F，A)上的软同余关系．

定理2 令(F，A)和(G，B)分别是半环S和T上的两个软半环，如果(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态并且g:A→B是一个单射，那么对于所有的α∈A，存在唯一一个软同构(h，g):(F，A)/kerf→(G，B)使得h(F(α)/kerf)=G(g(α))．

证明 因为(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，因此f:S→T是半环上的满同态，g:A→B是满射，并且对于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．令h:S/kerf→T是一个映射，定义为h(［a］kerf)=f(a)，这里a∈S．因为:

们立刻得到h既是良定义又是单射．更进一步，可以验证h:S/kerf→T是半环上的满同态．事实上，令a，b∈S，则:

因此h是从S/kerf→T的同态映射，因为由假设f:S→T是满同态，所以h是满射．把软集(F，A)/kerf表示为(K，A)，对于所有的α∈A，K(α)=F(α)/kerf，因此，有:

而且，由题设条件，g是双射，因此(h，g)是(F，A)/kerf→(G，B)的软同构．

定理3 令(F，A)和(G，B)分别是半环S和T上的两个软半环，如果(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，ρ 是半环S上的同余关系并且满足ρ⊆kerf，那么对于所有的α∈A，存在唯一一个软同态(h，g):(F，A)/ρ→(G，B)使得h(F(α)/ρ)=G(g(α))．

证明 因为(f，g)是从(F，A)到(G，B)的一个软同态，因此f:S→T是半环上的满同态g:A→B是满射，并且对于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．

令h:S/ρ→T是一个映射定义为h(［a］ρ)=f(a)，这里a∈S．

因为［a］ρ=［b］ρ⇒(a，b)∈ρ⊆kerf⇒f(a)=f(b)，立刻得到h是良定义，更进一步，可以验证h:S/ρ→T是半环上的满同态．事实上，令a，b∈S，则:

因此h是从S/ρ→T的同态映射，因为由假设f:S→T是满同态，所以h是满射．把软集(F，A)/kerf表示为(K，A)，对于所有的α∈A，K(α)=F(α)/ρ，因此，有:

因此(h，g)是(F，A)/ρ→(G，B)的软同态．

［1］ Molodtsov D．Soft set theory－first results［J］．Comput Math Appl，1999，37(4/5):19－31．

［2］ Jun Y B．Soft BCK/BCI－algebras［J］．Comput Math Appl，2008，56(5):1408－1413．

［3］ Acar U，Fatih K，Bekir T．Soft sets and soft rings［J］．Comput Math Appl，2010，59(11):3458－3463

［4］ Liu X，Xiang D，Zhan J．Isomorphism theorems for soft rings［J］．Algebra Colloquium，2012，19(4):649－656．

［5］ Liu X，Xiang D，Zhan J．Fuzzy isomorphism theorems of soft rings［J］．Neural Comput Appl，2012，21(2):391－397．

［6］ Feng F，Ali M I，Shabir M．Soft relations applied to semigroups［J］．Filomat，2013，27(7):1183－1196．

［7］ Xin X，Li W．Soft congruence relations over rings［J］．The Scientific World Journal，Volume 2014，Article ID，541630，9 pages．

［8］ Feng F，Jun Y B，Zhao X ．Z．Soft semirings［J］．Comput Math Appl，2008，56(10):2621－2628．