2014年浙江省温州市数学中考试题述评

●蔡新莲(温州市第二中学浙江温州325000)●朱新余(绣山中学浙江温州325000)

2014年浙江省温州市数学中考试题述评

●蔡新莲(温州市第二中学浙江温州325000)●朱新余(绣山中学浙江温州325000)

2014年浙江省温州市数学中考试卷让新老初三学生都很有“喜感”，它着力体现新课标精神，遵循浙江省考试说明，凸显数学学科的特质，无偏题、怪题，难度适中，梯度合理，知识面覆盖全，核心内容重点考核，让每一位考生都能发挥出应有水平.笔者结合具体实践，与各位再次咀嚼回味.

1 重要数学思想与文化素养的融合度

借助学业考试渗透数学文化是近几年温州数学中考的一大特色.勾股定理在中学几何中的重要地位不可取代.虽然勾股定理的证明方法有400多种，但是让学生在思维上比较“自然”就能想到的证法可以说是没有.为了让学生更好理解勾股定理，更多的是采用“面积法”、数形结合，教材例题和作业本等相关练习上常借用正方形、长方形、梯形等特殊四边形，因其简单易懂，“拼凑”“割补”思想突出.如温州市2014年数学中考试题第22题，就是关于证明勾股定理的阅读模仿题.

例1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当2个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:

将2个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证:a2+b2=c2.

(2014年浙江省温州市数学中考试题)

图1

图2

证明联结DB，过点D作BC边上的高DF，可得

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.

将2个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.

此题主要考查勾股定理的证明，相较于教材上的内容，“原材料形状不同”了，但是却同样渗透着重要的数学“面积割补”思想，让学生在动手“玩”图的过程中进行有效的思考，是对日常教学内容的补充和延伸.此题解题的关键是用不同的切割方式表示出五边形面积，建立等式.首先联结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案.

从勾股定理的根源入手，探究它的证明方法，这在往年的考试中并不常见.这道题让学生更加深刻地理解勾股定理，不仅使学生知其然而且更深入地知其所以然.在渗透数学文化的同时，引导学生探索勾股定理的证明过程，让学生近距离地感受到图形变换的魅力.考试不再是简单的“考考你”，更多的是让你“试试”，你会学到更多，一场考试也是一节“学习课”!

源于教材，取题教材，进行改编和再造，这一直以来受到大家的喜爱和拥护，相信必能有效遏制题海战术，回归到对数学本质的研究.考查学生对核心知识的掌握，突出数学重要思想与方法，研究解决问题的通性通法，这些基本溢满整份试卷.

2 试卷出题原意与考生考场发挥的契合度

如今一份地方中考卷，肩负着双重身份，即毕业考核和选拔考试.显然选择题压轴题的主要功能是选拔，如温州市2014年数学中考试题第10题.

图3

例2如图3，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数(其中k≠0)中k值的变化情况是()

A.一直增大

B.一直减小

C.先增大后减小

D.先减小后增大

(2014年浙江省温州市数学中考试题)

分析(来源于温州中考解析)在矩形ABCD中，设AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值.根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知

再根据a+b为定值，当a=b时，ab最大，可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.

此题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、矩形的性质、反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，有一定的难度.根据题意得出是解题的关键.

而考生在考场上是否能这样想，并这样做呢?他们如何处理这个关键点呢?借助考生草稿纸还原思考过程.

笔者收集了400名考生的草稿纸，结果有超过60%的考生几乎一致地采用了特殊值法，避开了先用字母表示后求最值的方法，并表示此题不用如此繁琐.特殊值法巧妙地将此题转化成“已知a，b的值，求k”，虽然所运用的知识点一个也不落下，可已经大大了降低了此题的难度，尤其是只要分别选出大于、等于、小于这3组值，就让答案“手到擒来”，可谓最妙.或许出题者也想不到考生会有这么一“招”，让此题的得分率大大提高，远远超过了理想值0.6.其实对于一道“规律题”，我们采用具有代表性的特殊数值进行运算，进行“不完全归纳”，不失为一种好方法.此题特殊值法中选择具有代表性的数值，题目已经明确告诉是“从小于AD到大于AD的变化过程中”，使得此题有些简单了.

通过统计2014年温州市数学中考卷的最终得分情况，各题难度值与得分率基本在“理想范围”内，只有这题在“掌握”之外，却也是情理之中.

3 历年中考最后压轴题的共通处

看最近5年来，温州市数学中考压轴题都在考“动”.以方程、函数和几何图形的综合运用作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆等有关知识.动态几何问题经常把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.

2010年的压轴题从边长为3，4，5的特殊直角三角形入手，利用点动形成线动，再带动形动，通过图形变换——平移与轴对称创设问题情境，以线与线的平行和垂直在平移变换和轴对称变换中所蕴含的不变性为突破口，让学生展开数学思考、参与数学活动、解决数学问题.

2011年的压轴题尝试设计2个独立的动点(迈进一步)，一个“点动”带来“线动”，另一个“点动”带来“线动”并引起“形动”.设计巧妙之处还在于2个独立的动点又不“独立”，为了得到等腰直角三角形，它们需要合作，当一个“点动”带来直角时，需另一个“点动”带来等腰，进而解决问题，学生还需要对点P的位置进行讨论，在不同象限画出符合题意的图形，让学生经历问题探究的全过程.

2012年的压轴题利用运动的相对性原理，让“形”先动，视“点M、线PM”为“参照物”，从而带动相关的“线”和“点”动(运动的相对性，与前几年反过来，迈进一步)，对学生综合解决问题的能力提出了较高的要求.

2013年的压轴题尝试设计2个独立的动点(与2011年类似)，一个是“隐藏动点”，而另一个是“辅助动点”(迈进一步).设计巧妙之处还在于2个独立的动点又不“独立”，为了得到矩形，它们需要合作，当“辅助动点D”在运动过程中不能得到矩形时，需另一个“隐藏动点C”来改变m的条件，如何确定m的值，是本题的难点也是关键所在，学生需对m的取值范围进行讨论，画出相应的图形，……，进而解决问题.

2014年的压轴题如下:

例3如图4，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-3，0)，(0，6).动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP的延长线上取点E，使PE=AO.设点P运动的时间为t秒.

图4

1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标.

2)当点C在线段OB上时，求证:四边形ADEC为平行四边形.

3)在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一和第四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S.

①当点M，N中有1个点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值;

②若点M，N中恰好只有1个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围.

(2014年浙江省温州市数学中考试题)

此题整体上“起点低，坡度先缓后陡，尾巴很翘”.第1)和第2)小题看上去“动”，实质上是“定”，大部分学生能轻而易举拿下，让每一位学生都有机会参与，可谓面向全体学生.而第3)小题要求较高，考生需要综合运用四边形、相似三角形等相关知识.此题对熟练运用多种技能与方法综合解决问题上提出了很高要求.在动态变化过程中，进行正确分类之中再分类即复合分类方面，表现尤其突出.

分析3)①当点C在BO上时，第1种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第2种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解;当点C在BO的延长线上时，第1种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第2种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解.

此题看上去是2个独立的点C，P在动，可实际上是3个动点:点E随着点P而动(迈进一步).虽然有3个动点，可是整个四边形却始终是一个平行四边形，这也是巧妙之处.第3)小题看似入口很宽，条件也没有限制很窄，只要点在面上即可，可是隐含条件中满足条件的点却有限，颇有新意.分类时，先对点C的位置进行分类，再套点N，M的分类.解决这种复合分类的关键是能找到根源，分清先动点，后动点，最后引起形动的不同情况.考生进行正确分类，在不同象限画出符合题意的图形，经历问题探究的全过程，最终综合解决问题(延续2013年风格).

通过探究中考数学压轴题的共通处，可以找到一些解决这个“神秘”压轴题的切入点:构造定理所需的图形或基本图形，如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等;“做不出、找相似，有相似、用相似”，近5年均有所体现;紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论.在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某2条线段，或某2个角或某2个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变;在题目中寻找多解的信息，点在动，形在动，在变化过程中，可能满足条件的情形不止一种，要“把握全局，定位解题”.当然这些切入点的实施者必须具有积极、勇敢而又强大的内心.