平凡中闪耀出数学的本质——赏析一堂常态课“数列的概念与简单表示法”

●俞昕(湖州市第二中学浙江湖州313000)

平凡中闪耀出数学的本质
——赏析一堂常态课“数列的概念与简单表示法”

●俞昕(湖州市第二中学浙江湖州313000)

1 缘起

笔者有幸参加了高中数学浙派名师培养对象的培训活动，更有幸能跟随实践导师、浙江省特级教师金克勤老师蹲岗实践一周.在这一周时间里笔者切身感受到了金老师精湛的教学技术、丰满的人格魅力以及平易近人的待人处事态度，尤其是聆听金老师原生态的常态课，没有现今一些场合开设的公开课的华丽浮躁，却时时闪耀出数学课堂的原汁原味.下面笔者以其中一堂“数列的概念与简单表示法”与同行们共享.

2 问题串引领课堂教学

金老师以问题串的形式引领了本节课的教学主线.首先向学生简要讲述一些数学史知识:古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，由此引出并介绍“三角形数”、“正方形数”.三角形数:1，3，6，10，…;正方形数:1，4，9，16，…(限于篇幅，下面仅列举出问题串主线).

问题1这2列数有什么特征呢?

问题2数列如何表示呢?

问题3你能写出一个数列吗?

问题4你是怎么写出来的?

问题5你能写出一个有规律的数列吗?

问题6任何一个数列都可以用通项公式来表示吗?

问题7数列能否视为是一个函数?

问题8数列的通项公式是否唯一?

问题9如果数列是一个函数，那么它是怎样的函数?定义域是什么?值域是什么?

例1写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项是以下各数:1)1，;2)2，0，2， 0.

例2如图1所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在4个三角形图案中，白色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式(由例2引出数列的另一种表示方法:递推式).

图1

问题10你能用直观的方法表示数列吗?数列有图像吗?

问题11请说说你对数列有怎样的了解(作为本堂课的结尾)?

3 课例赏析

3.1 突出数学本质，淡化细枝末节

人们对数学的不同感受可以得出对数学本质完全不同的认识，从不同的角度观察数学也可以得出对数学本质的不同理解.对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉［1］.作为数列的起始课“数列的概念与简单表示法”概念颇多，很多教师会尽可能地将每一个概念和知识点进行详细讲解.因此，这样的课很容易被上成是概念罗列课，学生可能会把教师讲解的每一个概念都详细地记录下来，但缺乏对数学本质的认识.而金老师对这堂课进行了另一番解读与处理.“数列的概念”、“数列的通项公式”、“数列与函数的关系”、“数列的递推式”都是本堂课的重点与难点，而且也是延续本章内容的重点与难点.金老师浓墨重彩地在这几个知识点上设置了引导性问题，引导学生直入主题、深入思考、突出数学本质，体现出原汁原味的数学味道.而对一些细枝末节的东西作了淡化处理，充分地突出了本节课的重点与难点，与“平均使力”相比，这样“重点主攻”的策略对学生之后数列的学习更有成效.

3.2 渗透数学文化，提升数学素养

在一定意义上，个体数学认识过程具有与数学文化发展的相似性.因此，可以从数学文化曲折的发展路径去洞察数学学习的本质，为此要重视学生数学文化经验的积累和总结，包括数学的观察实验发现意识，无论是成功还是失败都是有价值的.金老师以毕达哥拉斯学派研究的各种多边形数以及经典的谢宾斯基三角形引领学生接受数学文化的洗礼与熏陶.

听完金老师的课，笔者马上想到看过的一篇有关高考的文章(详见文献［2］).文章主要对2013年湖北省数学高考理科第14题的表述进行了探讨.笔者现将此题呈现:

例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N(n，k)(其中k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表述式:

…

可以推断N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)=______.

文献［2］认为对于“三角形数”，题目中没有解释，造成考生“一瓢冷水”，因题目的表述而形成的心理阴影极大地影响了学生正常水平的发挥.文献［1］的论点当然有一定道理，笔者试图从另一个角度考虑.“三角形数”、“正方形数”等概念(人教A版教材中数列开篇就有介绍“三角形数”的概念，其他版本教材中不一定有)作为一种数学文化的渗透，教师有必要向学生进行介绍与深入.金老师在数列开篇就以“三角形数”、“正方形数”引入，这样的引入不仅简单直白，而且蕴涵丰富的数学文化元素，比起现今一些为创设情境而缺乏数学内涵的引入，金老师采用的引入方式更具有浓厚的数学味道.笔者建议随着数列学习的逐步深入，教师可以逐步引导学生对诸如此类的历史上的数列问题进行研究，这不仅是一种教材的“二次开发”，更是一种数学文化的有效渗透.

3.3 均衡师生地位，构建和谐课堂

现今对于“学生与教师”主体位置的争论比较激烈.笔者认为两者之间应该是一种辩证关系，不是“哪个比哪个更重要”的问题，而是“什么时候应突出哪个位置”的问题.这堂课为我们树立了一个很好的榜样，当学生思维顺畅时，教师就直接将知识交付于学生，学生能直接将其纳入自身的知识结构中;当学生遇到疑惑时，就让学生自主思考或自由讨论，使他们的认知结构产生冲突，在冲突中融合，最后达成统一.这样遵循了学生思维自然生成的过程，“教师的引导”与“学生的主体”适时交替、交相辉映，勾画出一幅和谐的课堂教学师生互动的画面.特别是在原生态的数学课堂中，教师应当根据学生即时的反应选择适当的教学方式，不是每一堂课、每一个知识点都需要学生探究与讨论的.需要探究讨论时，要不惜时间让学生充分发挥;不需要探究讨论时，教师要简单直白，不浪费课堂宝贵的时间.总之，“主体”应该是随着“学情”而不断转变的.

3.4 课堂即兴发挥，显示个人魅力

真正的教学艺术不是在那些准备了数遍的公开课上体现的，而是在日常的常态课中就能充分感受到的.在金老师的课堂上，笔者充分感受到一位教学艺术精湛的名师对学生潜移默化的感染力.比如当学生说出“不能用通项公式表示的数列π”时，金老师就立即在黑板上写出“π≈3.141 592 653 589 793 238 462 643 3…”，当时全班学生都发出了惊叹.笔者事后反思:或许很多教师认为“背圆周率”没有意义，但事实上从细节中就可以看出数学教师是否热爱数学.像金老师这样热爱数学的教师们就能潜移默化地将他们对数学的感情传递给学生，从而影响学生热爱数学，让学生亲近数学，感受数学的魅力.

［1］黄光荣.对数学本质的认识［J］.数学教育学报，2002，11(2):21-23.

［2］任志瑜.别让高考题的表述成为“路障”［J］.数学通报，2014(4):49-51.

［3］水菊芳，黄安成.我们不是课堂“神话”的缔造者——“将课堂交给学生”之我见［J］.中学数学教学参考，2013(12):38-47.

［4］黄秦安.数学文化观念下的数学素质教育［J］.数学教育学报，2001，10(3):12-17.

［5］徐文彬.教学主体新论——教学主体与教学活动中的主体辨析［J］.教育理论与实践，2007，27(8):52-56.