从2015年高考导数题再谈文科数学导数的教学

邓京凤

摘 要：2015年全国卷Ⅰ高考文科数学最后一题考查的问题主要有两个方面：含参单调性及零点问题；含参不等式证明问题.2015年北京文科数学考查了考点：导数的运算；利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的极值和最值；函数零点问题.考查了学生对导数的掌握水平.下面就从两道例题来谈谈文科数学中导数题型中的大题教学.

关键词：文科；导数；函数；教学

一、高考题型解析

1.[2015年全国卷I文科（21）题]设函数f（x）=e2x-alnx.（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（2）证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln .

解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）=2e2x- （x>0）.当a≤0时，f ′（x）>0，f ′（x）没有零点；当a>0时，因为e2x单调递增，- 单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）单调递增.又f ′（a）>0，当b满足00时，f ′（x）存在唯一零点.（2）由（1）可设f ′（x）在（0，+∞）的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f ′（x）<0；当x∈（x0，+∞）时，f ′（x）>0.故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0）由于2e2 - =0，所以f（x0）= +2ax0+aln2≥2a+aln .故当a>0时，f（x）≥2a+aln .

小结：本题主要考查了导数含参单调性及零点问题、含参不等式证明问题.此题中第（1）问求函数f（x）的导函数f ′（x）的零点个数问题，所以先求出f（x）的定义域，然后对a进行分类讨论；第二问通过函数的单调性和零点以及均值不等式的应用得以证明.在高考题型中常见证明不等式问题也常常构造函数来证明不等式问题.

2.[2015年北京文科]设函数f（x）= -klnx，k>0.

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点.

解析：（1）f ′（x）=x- = ，由f ′（x）=0解得x= .由f ′（x）<0

得单调递减区间是（0， ），由f ′（x）>0得单调递增区间是（ ，+∞）；故f（x）在x= 取得极小值为f（ ）= （2）由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值f（ ）= .因为f（x）存在零点，所以 ≤0，从而k≥e.（1）当k=e时，

f（x）在区间（1， ]上单调递减，且f（ ）=0，所以x= 是

f（x）在区间（1， ]上的唯一零点；（2）当k>e时，f（x）在区间（0， ）上单调递减，且f（1）= >0，f（ ）= <0，所以f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点.综上可知，若f（x）存在零点，则

f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点.

小结：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想，通过转化导数方程求解原函数单调性及零点问题.

二、规律总结

导数题型教学归纳总结：（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围.（2）若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想（先求函数定义域）.（3）利用导数方法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数

h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.

在高中文科数学教学中，研究好近几年特别是高考命题的方向，能把高考导数考题类型把握好，对今后文科数学教学有重要的作用.对于导数问题类型的考试特别是大题甚至压轴题都基本上是按照上面的规律总结教学，注意教学中注入不同的方法及灵活的新思维，相信在高中的导数教学中会取得突破性的进展，对于文科生拿高分也轻而易举.

编辑 张珍珍