例析均值不等式工具性视角下的解题技巧

王莉敏

摘 要：在均值不等式应用的视角下，阐述了凑项、配项、拆项、串求、换元和待定系数六种变形与转化技巧，体现了均值不等式应用的灵活性.

关键词：均值不等式；解题技巧；工具性

均值不等式作为一种解题工具，它在许多问题的解决中应用得较为广泛，而且表现出独特的功能.然而，在使用均值不等式解决问题时，通常需要配合一定的变形与转化技巧，既有难度又不失灵活性.现举例说明如下：

一、凑项

例1.若0

解：y=x4（1-x2）= x2·x2·（2-2x2）≤ [ ]3=

当且仅当x2=2-2x2，即x= 时等号成立，故ymxa= .

二、配项

例2.若x，y，z∈R+，求证： + + ≥ .

证明：要证原不等式成立，

只需证 +1+ +1+ +1≥ ，

即证（x+y+z）（ + + ）≥ ，

即证[（x+y）+（y+z）+（x+z）]（ + + ）≥9，

而（x+y）+（y+z）+（x+z）≥3 ，

+ + ≥3 ，所以原命题得证.

三、拆项

例3.已知a1，a2，…，an∈R+且a1·a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.

证明：（2+a1）（2+a2）…（2+an）=（1+1+a1）（1+1+a2）…（1+1+an）

≥3 ·3 …3 =3n，

当且仅当a1=a2=…=an=1时等号成立.所以原命题得证.

四、串求

例4.已知a，b∈R+，a+b=1，x1，x2∈R+，求 + + 的最小值.

解： + + ≥3 =3 ≥3 =3 =6，

当且仅当 = = 时有最小值，即（ + + ）min=6.

五、换元

例5.已知a，b，c为△ABC三边的长，求证：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

证明：设m=b+c-a，n=c+a-b，p=a+b-c，

解之得a= ，b= ，c= .

所以abc= · · ≥ · · =mnp.

即abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

六、待定系数

例6.已知0

解：因为0

所以可设y= （1-t）x（1-x）（t+tx）

≤ [ ]3= （ ）3（t>0），

当且仅当（1-t）x=1-x=t+tx，即x= = 时取等号，解得t=2± .

若t=2+ ，则x=- <0，故舍去；若t=2- ，则x= ，y= .

综上可知，ymax= .

编辑 张珍珍