数形结合三要点

郭炜

对于数形结合思想，我国著名数学家华罗庚曾经这样描述：“数与形本相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。几何代数统一体，永远联系莫分离。”数形结合思想作为高中阶段七大数学思想之一，每年都是高考的热点。在平时练习过程中，我们应该主要把握以下三个要点：

一、理清限制约束条件是前提

在使用数形结合解题前，应该先注意理清题目中的限制约束条件，限定范围，才可准确地解决问题。

例1.设集合A={x|y= +m}，B={x|x+y- =0}，若A∩B=？覫，求m的范围。

解：y= +m得（y-m）2+x2=1（y≥m）

其几何意义为以（0，m）为圆心，1为半径的上半圆。

A∩B=？覫知直线与半圆无公共点。

在x+y- =0中，令x=-1，得y= 。

∴m> ，无公共点。

又由点（0，m）到直线距离d= >1

得到m> + （舍）或m< -

综上可知m< - 或m> 。

在解答本题的过程中需要注意y的范围，A集合所表示的图形并非整个完整的圆，而只是圆的上半部分，如果忽略这一点，将得到m> + 或m< - 这一错误答案。

二、掌握图象变换是基础

运用数形结合，需要对图象的平移、翻折等变换非常熟练，才能准确地作出较复杂的函数图象。

例2.函数f（x）=0 x=1lgx-1 x≠1，关于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7个实数根的充要条件是什么？

解：首先作出f（x）图象，其中涉及较多图象的翻折及平移，其图象是由y=lgx→y=lgx→y=lgx-1→y=lgx-1变化得到，分为四个步骤，先y=lgx沿y轴翻折，再向右平移一个单位，在将x轴下部分图象向上翻折。

当f（x）>0时，相应的x有四个解；当f（x）=0时，x有三个解；当f（x）<0时，x无解。故欲使方程有7个根，只需关于f（x）的二次方程有一个正根，一个零根，

即c=0，此时另一根f（x）=-b>0，

所以，此方程有7个根的充要条件为：c=0且b<0。

本题主要考查函数图象的各种平移及翻折，“左加右减，上加下减”的运用及f（x）和f（x）的图象变化。

三、熟悉函数性质的关键

运用数形结合思想解题，还要求熟练掌握函数的性质（周期性、对称性等）。

例3.x1为方程2x+2x=5的根，x2为方程2x+2log2（x-1）=5的解，求x1+x2。

解：2x+2x=5可变形为2x-1= -x，

2x+2log2（x-1）=5可变形为log2（x-1）= -x，

由反函数的对称性质及平移可知，y=2x-1和y=log2（x-1）图象关于直线y=x-1对称。

设两交点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），易知A、B两点关于直线y=x-1对称，故有x2=y1+1y2=x1-1且A点在直线y= -x上，即y2= -x2=x1-1移项得到x2+x1=

本题对考查函数平移及对称等关系要求较高，要求学生深刻理解互为反函数的两个函数平移后对称轴的变化情况，以及掌握两点关于某直线对称时的坐标关系，即对函数的各种性质非常

熟悉。

总之，当我们在解题时时刻注意以上三个要点，在运用数形结合思想解题时就会得心应手；而一旦忽视这些问题，就往往会出现一些“会而不对，对而不全”的问题，事后追悔莫及。

编辑 张珍珍